Автор Тема: Вычислить производную по определению  (Прочитано 543 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн matan

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Вычислить производную по определению
« : Сентябрь 11, 2015, 11:31:56 am »
Привет! В институте дали задачку: доказать, что производная константы равна нулю, используя определение производной.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Вычислить производную по определению
« Ответ #1 : Сентябрь 11, 2015, 01:19:17 pm »
Так как \( C=C+0 \cdot x \), то \[ \large \frac{d}{dx}(C)=\frac{d}{dx}(C + 0 \cdot x) =\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{C+ 0 \cdot (x+ \Delta x) - (C + 0 \cdot x)}{\Delta x}}= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{0 \cdot \Delta x}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0 }{0}=0  \]
 

Оффлайн matan

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Re: Вычислить производную по определению
« Ответ #2 : Сентябрь 13, 2015, 02:03:40 pm »
Спасибо за помощь.
 

Оффлайн Sadler42

  • Пользователь
  • Сообщений: 49
    • Просмотр профиля
Re: Вычислить производную по определению
« Ответ #3 : Март 14, 2016, 08:23:20 pm »
Пользуясь определением производной функции в точке, вычислите \(  \large f'(0) \) для функции

\(  \large f(x) = \begin{cases} 1 - \cos \left( x \sin \frac{1}{x} \right), \ x \not = 0 \\ 0, \ x=0 \end{cases} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Вычислить производную по определению
« Ответ #4 : Март 15, 2016, 12:16:32 pm »
Известно, что

\(  \large f'(x) = \lim\limits_{ \Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \).

Поскольку требуется найти \(  \large f'(0) \), запишем приращение заданной функции в точке \(  \large x=0 \). Имеем:

\(  \large f(0+ \Delta x) - f(0)=1 - \cos \left( (0 + \Delta x) \sin \frac{1}{0+ \Delta x}\right)-0 \).

Значит,

\(  \Large f'(0)= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1 - \cos \left(  \Delta x \sin \frac{1}{ \Delta x}\right)}{\Delta x}  \).

Так как

\(  \large 1- \cos^2 x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \),

то

\(  \Large f'(0)= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2 \sin^2 \left( \frac{ \Delta x }{2} \sin \frac{1}{ \Delta x}\right)}{\Delta x}  \).

Вид функции, стоящей под знаком предела, подсказывает способ его вычисления: нужно свести к первому замечательному пределу.

Поскольку произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция, то

\(  \Large \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{2} \sin \frac{1}{\Delta x}=0 \).

Следовательно,

\(  \Large f'(0)= 2 \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ \sin^2 \left( \frac{ \Delta x }{2} \sin \frac{1}{ \Delta x}\right)}{\left( \frac{\Delta x}{2} \sin \frac{1}{\Delta x}\right)^2} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta x}{4} \sin^2 \frac{1}{\Delta x} \right)=2 \cdot 1^2 \cdot 0=0 \).

Итак, \(  \large f'(0)=0 \).
 
Сказали спасибо: Sadler42