Автор Тема: Найти частные производные первого и второго порядков  (Прочитано 2935 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Student123

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Помогите найти частные производные первого порядка функции \( u=x^y+(xy)^z+z^{xy} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
\( \large \frac{\partial{u}}{\partial{x}}=yx^{y-1}+y^z z x^{z-1}+y z^{xy} \ln z  \)

\( \large \frac{\partial{u}}{\partial{y}}=x^y \ln x+x^z z y^{z-1}+x z^{xy} \ln z  \)

\( \large \frac{\partial{u}}{\partial{z}}=(xy)^z \ln (xy) +xy z^{xy-1}  \)



 

Оффлайн Student123

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Спасибо за решение.
 

Оффлайн mordol

  • Пользователь
  • Сообщений: 47
    • Просмотр профиля
Найти частные производные первого порядка
1)\(  \large z={2}^{xy}+ \sin(2xy) \);
2)\(  \large z=\textrm{arcsin} \frac{x+y}{xy} \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
1) \(  \Large \frac{\partial{z}}{\partial{x}}=2^{xy} \ln 2 (xy)'_{y=const} + \cos (2xy) (2xy)'_{y=const}=2^{xy} y \ln 2 + 2y \cos (2xy)  \)

\(  \Large \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=2^{xy} \ln 2 (xy)'_{x=const} + \cos (2xy) (2xy)'_{x=const}=2^{xy} x \ln 2  + 2x \cos (2xy)  \)

2) \(  \LARGE  \frac{\partial{x}}{\partial{x}}=\frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{x+y}{xy} \right)^2 }} \cdot \frac{(x+y)_{y=const}' (xy) - (x+y) (xy)_{y=const}'}{x^2y^2}=- \frac{1}{y^2 \sqrt{1- \left( \frac{x+y}{xy} \right)^2 }} \)

\(  \LARGE  \frac{\partial{x}}{\partial{y}}=\frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{x+y}{xy} \right)^2 }} \cdot \frac{(x+y)_{x=const}' (xy) - (x+y) (xy)_{x=const}'}{x^2y^2}=- \frac{1}{x^2 \sqrt{1- \left( \frac{x+y}{xy} \right)^2 }} \)
 

Оффлайн mordol

  • Пользователь
  • Сообщений: 47
    • Просмотр профиля
спасибо) :D
 

Оффлайн mordol

  • Пользователь
  • Сообщений: 47
    • Просмотр профиля
Дана функция z=ln(x^2+y). Показать, что d^2z/dxdy=d^2z/dydx (по теореме Шварца).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Поскольку \(  \large \frac{\partial{z(x,y)}}{\partial{x}}=z'(x,y)_{y = \textrm{const}} \), \(  \large \frac{\partial{z(x,y)}}{\partial{y}}=z'(x,y)_{x = \textrm{const}} \), \(  \large \frac{\partial^2{z}}{\partial{x} \partial{y}}= \frac{\partial}{\partial{y} } \left(  \frac{\partial{z}}{\partial{x}} \right) \), \(  \large \frac{\partial^2{z}}{\partial{y} \partial{x}}= \frac{\partial}{\partial{x} } \left(  \frac{\partial{z}}{\partial{y}} \right) \), имеем:

а) \(  \large \frac{\partial{z}}{\partial{x} } =\frac{1}{x^2+y} \cdot (x^2+y)'_{y = \textrm{const}}=\frac{2x}{x^2+y} \);

б) \(  \large \frac{\partial{z}}{\partial{y} } =\frac{1}{x^2+y} \cdot (x^2+y)'_{x = \textrm{const}}=\frac{1}{x^2+y} \);

в) \(  \large  \frac{\partial^2{z}}{\partial{x} \partial{y}}=2x ((x^2+y)^{-1})'_{x = \textrm{const}}=-2x (x^2+y)^{-2} (x^2+y)'_{x= \textrm{const}}=-\frac{2x}{(x^2+y)^2} \);

г) \(  \large  \frac{\partial^2{z}}{\partial{y} \partial{x}}=((x^2+y)^{-1})'_{y = \textrm{const}}=-1 \cdot (x^2+y)^{-2}(x^2+y)'_{y = \textrm{const}}=-\frac{2x}{(x^2+y)^2} \).

Итак, как и следовало ожидать, зная теорему Шварца, \(  \large  \frac{\partial^2{z}}{\partial{x} \partial{y}}= \frac{\partial^2{z}}{\partial{y} \partial{x}} \).
 

Оффлайн mordol

  • Пользователь
  • Сообщений: 47
    • Просмотр профиля
Пожалуйста помогите с примером
дана функция z=lncos(xy)
Найти частные производные первого и второго порядков dz/dx, dz/dy, d^2z/dx^2, d^2z/dy^2, d^2z/dxdy,  d^2z/dydx
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
1) Найдём частные производные первого порядка:

а) \(  \Large \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{1}{\cos (xy)} (\cos (xy))'=-\frac{\sin (xy)}{\cos (xy)} (xy)'=-y \textrm{tg}(xy) \);

б) \(  \Large \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=  \frac{1}{\cos (xy)} (\cos (xy))'=-\frac{\sin (xy)}{\cos (xy)} (xy)'=-x \textrm{tg}(xy) \).

2) Вычислим частные производные второго порядка:

а) \(  \Large \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}^2}=\frac{\partial }{\partial{x}} \left( \frac{\partial{z}}{\partial{x}} \right) =-y \cdot \frac{1}{\cos^2  (xy)} (xy)'=-\frac{y^2}{\cos^2 (xy)} \);

б) \(  \Large \frac{\partial^2{z}}{\partial{y}^2}=\frac{\partial }{\partial{y}} \left( \frac{\partial{z}}{\partial{y}} \right) =-x \cdot \frac{1}{\cos^2  (xy)} (xy)'=-\frac{x^2}{\cos^2 (xy)} \);

в) \(  \Large \frac{\partial^2{z}}{\partial{x} \partial{y}}= \frac{\partial}{\partial{y}} \left(  \frac{\partial{z}}{\partial{x}}  \right)=-y' \textrm{tg} (xy) -y ( \textrm{tg} (xy))'=-\textrm{tg} (xy) - y \cdot \frac{1}{\cos^2 (xy)} (xy)'=-\textrm{tg} (xy) -\frac{xy}{\cos^2 (xy)}  \);

г) \(  \Large \frac{\partial^2{z}}{\partial{y} \partial{x}}= \frac{\partial}{\partial{x}} \left(  \frac{\partial{z}}{\partial{y}}  \right) =-x' \textrm{tg} (xy) - x ( \textrm{tg} (xy))'=-\textrm{tg} (xy) - x \cdot \frac{1}{\cos^2 (xy)} (xy)'=-\textrm{tg} (xy)- \frac{xy}{\cos^2 (xy)} \).
 

Оффлайн mordol

  • Пользователь
  • Сообщений: 47
    • Просмотр профиля
Спасибо :)
 

Оффлайн Константин

  • Пользователь
  • Сообщений: 156
    • Просмотр профиля
Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных: \(  \Large z=x \sqrt{y} + \frac{y}{\sqrt[3]{x}}  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
\(  \Large \frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\sqrt{y} -\frac{y}{3 \sqrt[3]{x^4}}  \)

\(  \Large \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=\frac{x}{2 \sqrt{y}}+ \frac{1}{\sqrt[3]{x}}  \)