Автор Тема: Как вычислить производную?  (Прочитано 3612 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Как вычислить производную?
« : Сентябрь 07, 2015, 09:38:42 pm »
Таблица производных

1) \(  \large (C)'=0, \ C=const \);

2) \(  \large (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha -1 }, \ \alpha \in \mathbb{R} \);

3) \(  \large (a^x)'=a^x \ln a \);

4) \(  \large (\log_{a}x)'=\frac{1}{x \ln a} \);

5) \(  \large ( \sin x)'= \cos x  \);

6) \(  \large ( \cos x)'= - \sin x  \);

7) \(  \large (tg \ x)'=\frac{1}{\cos^2 x}  \);

8) \(  \large( ctg \ x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}  \);

9) \(  \large (\arcsin  x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  \);

10) \(  \large (\arccos  x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  \);

11) \(  \large (arctg \  x)'=\frac{1}{1+x^2}  \);

12) \(  \large (arcctg \  x)'=-\frac{1}{1+x^2}  \).

Правила дифференцирования

1) \(  \large (C  f(x))'=Cf'(x), \ C=const \);

2) \(  \large (f(x) \pm g(x))'=f'(x) \pm g'(x) \);

3) \(  \large (f(x) g(x))'=f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \);

4) \(  \large \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)'=\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \);

5) \(  \large (f(t(x)))'=f'_t(t) t'_x(x) \);

6) \(  \large (\ln f(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)} \).
 

Оффлайн LiliLeron

  • Пользователь
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #1 : Октябрь 08, 2015, 11:44:57 pm »
Найти производные функции:

а) \(  \Large y=\textrm{tg}^3 2x \cdot \textrm{arcsin} x^5 \);

б) \(  \Large y=\sqrt{(x-4)^5} - \frac{10}{2x^2-5x+1} \);

в) \(  \Large \textrm{ctg} y =xy  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #2 : Октябрь 09, 2015, 12:51:20 am »
а) \(  \Large (\textrm{tg}^3 \ 2x \cdot \textrm{arcsin} \ x^5)'=(\textrm{tg}^3 \ 2x)'\cdot \textrm{arcsin} \ x^5+ \textrm{tg}^3 \ 2x \cdot (\textrm{arcsin} \ x^5)'= \\ \Large =3 \textrm{tg}^2 \ 2x \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2 \cdot \textrm{arcsin} \ x^5+ \textrm{tg}^3 \ 2x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{10}}} \cdot 5x^4  \)

б) \(  \Large \left( \sqrt{(x-4)^5} - \frac{10}{2x^2-5x+1} \right)' = \left( (x-4)^{\frac{5}{2}} - 10 \cdot (2x^2 - 5x+1)^{-1}\right)'= \\ \Large =\frac{5}{2}(x-4)^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - 10 \cdot (-1) \cdot (2x^2-5x+1)^{-2} \cdot (4x-5)=\frac{5 \sqrt{(x-4)^3}}{2}+\frac{10(4x-5)}{(2x^2-5x+1)^2} \)

в) \(  \Large (\textrm{ctg} \ y)'=(xy)'   \)

\(  \Large -\frac{1}{\sin^2 y}y'=y+xy'  \)

\(  \Large y'=-\frac{y \sin^2 y}{1+x \sin^2 y} \)
 

Оффлайн lubluvas

  • Пользователь
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #3 : Октябрь 22, 2015, 06:17:35 pm »
Найти производную первого порядка функции \(  \Large y=\sqrt[3]{\textrm{ctg}x + \textrm{tg}x^2} \)

Пожалуйста, помогите решить  :'(



 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #4 : Октябрь 22, 2015, 07:29:46 pm »
\(  \large y'=\left( (\textrm{ctg} x + \textrm{tg}x^2)^{\frac{1}{3}} \right)'=\frac{1}{3}(\textrm{ctg}x + \textrm{tg} x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (\textrm{ctg}x + \textrm{tg} x^2)'= \) \(  \large \frac{1}{3}(\textrm{ctg}x + \textrm{tg} x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x^2} \cdot (x^2)'\right) = \) \(  \large  =\frac{1}{3}(\textrm{ctg}x + \textrm{tg} x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x^2} \cdot 2x \right) \)
 

Оффлайн ника

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #5 : Ноябрь 06, 2015, 03:59:13 pm »
Найти производные функций:

а) \(  \large y=x^3(3 \ln x - 1) - \frac{x+1}{e^x} \);

б) \(  \large y=(5^{\textrm{tg} 2x}+3)^4 \);

в) \(  \large x^3y^3-2xy+1=0 \).

Помогите.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #6 : Ноябрь 06, 2015, 04:25:26 pm »
а) Используем правила дифференцирования произведения и частного:

\(  \Large y'=(x^3)' (3 \ln x -1) + x^3 (3 \ln x -1)' - \frac{(x+1)'e^x-(x+1)(e^x)'}{e^{2x}}= \)

\(  \Large =3x^2( 3 \ln x -1)+x^3 \cdot \frac{3}{x} - \frac{e^x-(x+1)e^x}{e^{2x}}=9 x^2 \ln x+\frac{x}{e^x} \).

б) Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

\(  \Large y'=4 (5^{\textrm{tg} 2x}+3)^3 \cdot (5^{\textrm{tg} 2x}+3)'=4 (5^{\textrm{tg} 2x}+3)^3 \cdot 5^{\textrm{tg} 2x} \cdot \ln 5 ( \textrm{tg} 2x)'=  \)

\(  \Large =4 (5^{\textrm{tg} 2x}+3)^3 \cdot 5^{\textrm{tg} 2x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot  (2x)'=  \)

\(  \Large =4 (5^{\textrm{tg} 2x}+3)^3 \cdot 5^{\textrm{tg} 2x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2=\frac{8 \ln 5}{\cos^2 2x} \cdot (5^{\textrm{tg} 2x}+3)^3 \cdot 5^{\textrm{tg} 2x}  \).

в) Продифференцируем обе части равенства, задающего функцию неявно, используя правила дифференцирования произведения и сложной функции (здесь \(  \large y=f(x) \)), а затем выразим \(  \large y' \) из полученного равенства:

\(  \Large (x^3)'y^3+x^3(y^3)'-2(x'y+xy')+0=0 \)

\(  \Large 3x^2y^3+x^33y^2y'-2y-2xy'=0 \)

\(  \Large y'(3x^3y^2-2x)=2y-3x^2y^3 \)

\(  \Large y'=\frac{y(2-3x^2y^2)}{x(3x^2y^2-2)} \)

\(  \Large y'=-\frac{y}{x} \)
 

Оффлайн Уйсембаева Молдир

  • Пользователь
  • Сообщений: 107
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #7 : Ноябрь 12, 2015, 10:14:20 pm »
Вычислите производные:

1) \(  \Large y=\cos \frac{1}{x^2} + \frac{1}{\cos^2 \alpha}  \log_{4} \frac{1- \sqrt{3x}}{1+\sqrt[3]{2x}}  \);

2) \(  \large y=\log_{2} (2 \sin 2x + \cos 2x) \).

3) Найти производную показательно-степенной функции: \(  \large y=(x^2+3)^{\textrm{tg} x} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #8 : Ноябрь 13, 2015, 09:19:27 pm »
1) Так как

\(  \Large y=\cos \frac{1}{x^2} + \frac{1}{\cos^2 \alpha} \left( \log_{4} (1-\sqrt{3x}) - \log_{4}(1+\sqrt[3]{2x} \right), \frac{1}{\cos^2 \alpha}=\textrm{const} \),

то, используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

\(  \Large y'=- \sin \frac{1}{x^2} \left( \frac{1}{x^2} \right)' + \frac{1}{\cos^2 \alpha} \left( \frac{(1-\sqrt{3x})'}{(1-\sqrt{3x}) \ln 4}- \frac{(1+\sqrt[3]{2x})'}{(1+\sqrt[3]{2x})\ln 4} \right) = \)

\(  \Large =\frac{2}{x^3} \sin \frac{1}{x^2}   + \frac{1}{2 \ln 2 \cdot \cos^2 \alpha } \left( \frac{\frac{3}{2 \sqrt{3x}}}{1-\sqrt{3x}}- \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{4x^2}}}{1+\sqrt[3]{2x}} \right) \).

2) Используя правило дифференцирования сложной функции, а также таблицу производных элементарных функций, получим:

\(  \Large  y'=\frac{1}{\ln 2 (2 \sin 2x +\cos 2x)} \cdot  (2 \sin 2x +\cos 2x)'=\frac{2 \cos 2x (2x)' - \sin 2x (2x)'}{\ln 2 (2 \sin 2x +\cos 2x)} =\frac{2}{\ln 2 } \cdot \frac{2 \cos 2x  - \sin 2x }{2 \sin 2x +\cos 2x} \).

3) Используя формулу \(  \Large f'(x)=f(x) [ \ln f(x)]'  \), правила дифференцирования произведения и сложной функции, а также таблицу производных элементарных функций, получим:

\(  \large y'=(x^2+3)^{\textrm{tg} x} \left(   (\textrm{tg} x)' \ln (x^2+3) + \textrm{tg} x (\ln (x^2+3))' \right)=(x^2+3)^{\textrm{tg} x} \left(  \frac{\ln (x^2+3)}{\cos^2 x} + \frac{\textrm{tg} x}{x^2+3} \cdot (x^2+3)' \right)= \)

\(  \Large =(x^2+3)^{\textrm{tg} x} \left(  \frac{\ln (x^2+3)}{\cos^2 x} + 2x \frac{\textrm{tg} x}{x^2+3} \right) \).
 

Оффлайн Константин

  • Пользователь
  • Сообщений: 156
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #9 : Ноябрь 22, 2015, 01:28:21 pm »
1) Найти производную четвёртого порядка: \(  \large y=x^3 \ln x \).

2) Найти производную первого порядка: \(  \Large y=e^{\textrm{ctg}^2 x} \frac{\sqrt{x}}{3} + 2 \sin^2 x \).

3) Найти вторую производную: \(  \large y=e^{\sqrt{x}} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #10 : Ноябрь 25, 2015, 11:14:16 am »
1) Последовательно находим производные первого, второго, третьего и четвёртого порядков:

\(  \large y'=(x^3)' \ln x + x^3 (\ln x)'=3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x}=3x^2 \ln x +x^2=x^2( 3 \ln x +1)  \)

\(  \large y''=(x^2)' ( 3 \ln x +1 ) + x^2 (3 \ln x +1)'=2x( 3 \ln x +1) + x^2 \cdot \frac{3}{x}=2x( 3 \ln x +1) +3x=x( 6 \ln x +5 ) \)

\(  \large y'''=x'( 6 \ln x + 5) + x ( 6 \ln x +5)'= 6ln x +5 +x \cdot \frac{6}{x}=6 \ln x + 11 \)

\(  \large y^{(4)}=6 \cdot \frac{1}{x}+0=\frac{6}{x} \)

2) Используем правила дифференцирования произведения и сложной функции, а также таблицу производных элементарных функций. Получим:

\(  \Large y'=\left( e^{\textrm{ctg}^2 x} \right)' \frac{\sqrt{x} }{3} + e^{ \textrm{ctg}^2 x} \left( \frac{\sqrt{x}}{3} \right)'+ 2 \sin x ( \sin x)'=e^{\textrm{ctg}^2 x} (\textrm{ctg}^2 x)' \frac{\sqrt{x}}{3}+ e^{\textrm{ctg}^2 x} \frac{1}{6 \sqrt{x}}+ 2 \sin x \cos x=  \)

\(  \Large =e^{\textrm{ctg}^2 x} \cdot 2 \textrm{ctg} x (\textrm{ctg} x)' \frac{\sqrt{x}}{3}+ e^{\textrm{ctg}^2 x} \frac{1}{6 \sqrt{x}}+ \sin 2x=e^{\textrm{ctg}^2 x} \cdot 2 \textrm{ctg} x \cdot  \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) \frac{\sqrt{x}}{3}+ e^{\textrm{ctg}^2 x} \frac{1}{6 \sqrt{x}}+ \sin 2x  \).

3) \(  \Large y'=e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x})'=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} \)

\(  \LARGE y''=\frac{1}{2} \frac{(e^{\sqrt{x}})' \sqrt{x} - e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x})'}{x}=\frac{1}{2} \frac{\frac{e^{\sqrt{x}}}{2} - \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}}{x} \)
 

Оффлайн dia owl

  • Пользователь
  • Сообщений: 21
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #11 : Декабрь 04, 2015, 04:39:54 pm »
Вычислить производную. Помогите, пожалуйста. С производными совершенно не дружу.

\(  \Large y=e^{\cos 3x} \sqrt{\log_{2} x + x^2}  \)

\(  \Large y = \frac{\sin x + x^2}{2^x} + \sqrt{x} \cdot \textrm{arctg} x  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #12 : Декабрь 04, 2015, 06:29:24 pm »
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, имеем:

1) \(  \Large y'=(e^{\cos 3x})' \sqrt{\log_{2} x + x^2} + e^{\cos 3x} ( \sqrt{\log_{2} x + x^2})'= \)

\(  \Large =e^{\cos 3x} (\cos 3x)' \sqrt{\log_{2} x + x^2} + e^{\cos 3x} \frac{1}{2 \sqrt{\log_{2} x + x^2}} (\log_{2} x + x^2)'=  \)

\(  \Large =e^{\cos 3x} (- \sin 3x) (3x)' \sqrt{\log_{2} x + x^2} + e^{\cos 3x} \frac{1}{2 \sqrt{\log_{2} x + x^2}} \left( \frac{1}{x \ln 2} + 2x \right)=  \)

\(  \Large =- 3 \sin 3x e^{\cos 3x} \sqrt{\log_{2} x + x^2} + e^{\cos 3x} \frac{1}{2 \sqrt{\log_{2} x + x^2}} \left( \frac{1}{x \ln 2} + 2x \right) \);

2) \(  \Large y'=\frac{(\sin x + x^2)' 2^x - (\sin x + x^2) (2^x)'}{2^{2x}}+ (\sqrt{x})' \textrm{arctg} x + \sqrt{x} (\textrm{arctg} x)'= \)

\(  \Large =\frac{\cos x+2x - \ln 2(\sin x +x^2)}{2^x} + \frac{\textrm{arctg} x}{2 \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{1+x^2} \).
 

Оффлайн толян

  • Пользователь
  • Сообщений: 25
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #13 : Январь 31, 2016, 02:02:17 pm »
а) Вычислить производную функции, неявно заданной уравнением:

\(  \large 4y^3-3x^2y+x^3-2=0 \).

б) Вычислить первую производную показательно-степенной функции:

\(  \Large y=\left( \textrm{arcsin}x \right)^{\frac{\sin x}{x}} \).

 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5228
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить производную?
« Ответ #14 : Февраль 01, 2016, 08:07:09 pm »
а) Продифференцируем обе части равенства и выразим \(  \large y' \) из полученного равенства:

\(  \large 4 \cdot 3 \cdot y^2 \cdot y' - 3 (2x \cdot y +x^2 \cdot y')+3x^2-0=0 \),

\(  \large y'(12y^2 -3x^2)=6xy-3x^2 \),

\(  \large y'=\frac{6xy-3x^2}{12y^2-3x^2} \),

\(  \large y'=\frac{2xy-x^2}{4y^2-x^2} \),

\(  \large y'=\frac{x(2y-x)}{(2y-x)(2y+x)} \),

\(  \large y'=\frac{x}{2y+x} \).

б)Так как

1) \(  \Large y'(x)=y(x) (\ln y(x))' \),

2) \(  \Large \left( \ln \left( \textrm{arcsin} x \right)^{\frac{\sin x}{x}} \right)'=\left(\frac{\sin x}{x} \cdot   \ln \textrm{arcsin} x \right)'=\left(\frac{\sin x}{x} \right)' \ln \textrm{arcsin }x + \frac{\sin x}{x} \left( \ln \textrm{arcsin} x \right)'=  \)

\(  \Large = \frac{  (\sin x)' x - x ' \sin x }{x^2} \cdot \ln \textrm{arcsin} x + \frac{  \sin x}{x } \cdot \frac{1}{\textrm{arcsin} x} \cdot \left( \textrm{arcsin } x \right)=  \)

\(  \Large =\frac{x \cos x -  \sin x }{x^2} \cdot \ln \textrm{arcsin} x + \frac{\sin x}{x } \cdot \frac{1}{\textrm{arcsin } x \cdot \sqrt{1-x^2}} \),
то

\(  \Large y'=\left( \left( \textrm{arcsin} x \right)^{\frac{\sin x}{x}} \right) \cdot \left( \frac{x \cos x -  \sin x }{x^2} \cdot \ln \textrm{arcsin} x + \frac{\sin x}{x } \cdot \frac{1}{\textrm{arcsin } x \cdot \sqrt{1-x^2}} \right)  \).
 
Сказали спасибо: толян