Автор Тема: Найти пределы, не используя правило Лопиталя  (Прочитано 478 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ника

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Помогите найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) \(  \Large \lim\limits_{x \to -1} \frac{2x^2+3x+1}{x^3+1} \);

б) \(  \Large \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) \);

в) \(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} \);

г) \(  \Large \lim\limits_{x \to \infty} \left(  \frac{x+4}{x+1} \right)^{2x+2} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5246
  • Поблагодарили: 1587 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти пределы, не используя правило Лопиталя
« Ответ #1 : Ноябрь 09, 2015, 04:28:30 pm »
а) Так как

\(  \large 2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1) \), \(  \large x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) \),

то

\(  \large \lim\limits_{x \to -1} \frac{2x^2+3x+1}{x^3+1} =\left[ \frac{0}{0} \right]=\lim\limits_{x \to -1} \frac{(2x+1)(x+1)}{(x^2-x+1)(x+1)}=\lim\limits_{x \to -1} \frac{2x+1}{x^2-x+1}=\frac{-2+1}{1+1+1}=-\frac{1}{3} \).

Выполним проверку с помощью правила Бернулли-Лопиталя:

\(  \large \lim\limits_{x \to -1} \frac{2x^2+3x+1}{x^3+1}=\lim\limits_{x \to - 1} \frac{(2x^2+3x+1)'}{(x^3+1)'}=\lim\limits_{x \to -1} \frac{4x+3}{3x^2}=\frac{-4+3}{3}=-\frac{1}{3} \).

б) Так как

\(  \large (\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})=x+1-x=1 \),

то

\(  \large \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{x+1}- \sqrt{x}) = \left[ \infty - \infty \right]=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{0}{1+ 0+1}=0 \).

в) Так как

\(  \Large 1- \cos 2x= 2 \sin^2 x \), \(  \Large \lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \) (первый замечательный предел),

то

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x^2}=2 \left( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right)^2=2 \cdot 1^2 =2 \cdot 1=2 \).

Выполним проверку с помощью правила Лопиталя-Бернулли:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1 - \cos 2x)'}{(x^2)'}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x}=\lim\limits_{x \to 0 } \frac{(\sin 2x)'}{x'}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \cos 2x}{1}=\frac{2 \cdot 1}{1}=2 \).

г) Так как

\(  \Large  \frac{x+4}{x+1}=\frac{x+1+3}{x+1}=1+\frac{3}{x+1} \),

то

\(  \Large \lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{x+4}{x+1} \right)^{2x+2}=\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+ \frac{3}{x+1} \right)^{2x+2}=\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+ \frac{3}{x+1} \right)^{\frac{x+1}{3} \cdot \frac{3(2x+2)}{x+1}}=e^{\lim\limits_{x \to \infty} \frac{6x+6}{x+1}}=e^6 \).