Автор Тема: Предел функции - 3  (Прочитано 303 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Константин

  • Пользователь
  • Сообщений: 156
    • Просмотр профиля
Предел функции - 3
« : Ноябрь 04, 2015, 06:22:25 pm »
Вычислить предел: \(  \Large \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( 2x \textrm{tg} x - \frac{\pi}{\cos x} \right) \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5246
  • Поблагодарили: 1587 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Предел функции - 3
« Ответ #1 : Ноябрь 05, 2015, 12:28:39 pm »
Приведём к общему знаменателю и используем правило Лопиталя-Бернулли:

\(  \large \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( 2x \textrm{tg} x - \frac{\pi}{\cos x} \right)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2x \sin x - \pi}{\cos x}=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x \sin x - \pi)'}{( \cos x)'}=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x - 2x \cos x}{- \sin x}=-2 \).

Для проверки вычислим предел другим способом. Пусть \(  \large y=x - \frac{\pi}{2} \). Тогда \(  \large x=y+ \frac{\pi}{2} \) и \(  \large y \to 0 \) при \(  \large x \to \frac{\pi}{2} \). Следовательно, \(  \large \lim=\lim\limits_{y \to 0} \frac{(2y+ \pi ) \cos y - \pi}{- \sin y}= -2 \lim\limits_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} \cdot \lim\limits_{y \to 0} \cos y + \pi \lim\limits_{y \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{y}{2}}{2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2}}=-2 + \pi \lim\limits_{y \to 0}  \textrm{tg} \frac{y}{2}=-2+0=-2 \).