Автор Тема: Язык логики предикатов первого и второго порядков  (Прочитано 3536 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Никита

  • Пользователь
  • Сообщений: 32
    • Просмотр профиля
Записать на языке логики предикатов следующее определение: "Функция \(  \large f(x) \) называется чётной на множестве \(  \large M \), если область её определения симметрична относительно начала координат и для каждого \(  \large x \) из области определения справедливо равенство \(  \large f(-x)=f(x) \).
Построить отрицание этого определения и сформулировать определение функции, не являющейся чётной.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
Переведём на язык логики предикатов предложение "Область определения функции симметрична относительно начала координат". Имеем: \(  \large (\forall x_1 \in M) (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2) \).  Тогда можем записать следующее определение. Функция \(  \large f(x) \) называется чётной на множестве \(  \large M \), если \(  \large ((\forall x_1 \in M) (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2))  \wedge (\forall x \in M)(f(-x)=f(x)) \).

Запишем отрицание формулы \(  \large P(x_1,x_2,x) \equiv ((\forall x_1 \in M) (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2))  \wedge (\forall x \in M)(f(-x)=f(x)) \). Имеем:

1) так как \(  \large \overline{A \wedge B} \simeq \overline{A} \vee \overline{B} \), то \(  \large \overline{P} \simeq \overline{(\forall x_1 \in M) (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2)} \vee \overline{(\forall x \in M)(f(-x)=f(x))}  \);

2) так как \(  \large \overline{(\forall x ) (P(x)) } \simeq (\exists x) (\overline{P(x)}) \), то \(  \large \overline{P} \simeq  (\exists x_1 \in M)\overline{ (\exists x_2 \in M) (x_1=-x_2)} \vee (\exists x \in M) \overline{(f(-x)=f(x))}  \);

3) так как \(  \large \overline{( \exists x) (Q(x)) } \simeq ( \forall x ) \overline{( Q (x))}  \), то \(  \large \overline{P} \simeq  (\exists x_1 \in M)(\forall x_2 \in M) \overline{  (x_1=-x_2)} \vee (\exists x \in M) \overline{(f(-x)=f(x))}  \);

4) так как \(  \large \overline{ P(x) = Q(x)} \simeq P(x) \not = Q(x) \), то \(  \large \overline{P} \simeq  (\exists x_1 \in M)(\forall x_2 \in M) (x_1 \not =-x_2) \vee (\exists x \in M) (f(-x) \not =f(x)) \).

Итак, функция \(  \large f(x) \) не является чётной на множестве \(  \large M \), если найдётся такое \(  \large x_1 \) из множества \(  \large M \) , что для любого \(  \large x_2 \) из множества \(  \large M \) \(  \large x_1 \not = x_2 \), или найдётся такое \(  \large x \) из множества \(  \large  M \), что \(  \large f(-x) \not = f(x) \).
 
Сказали спасибо: Илья23

Оффлайн deg1999

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Приветствую спецов по матлогике!
Мне интересно, можно ли определить понятие равенства с помощью логических символов? Спасибо заранее.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
можно ли определить понятие равенства с помощью логических символов?

Можно, если использовать язык логики предикатов второго порядка (там кванторы можно навешивать не только по предметным, но и по функциональным и предикатным переменным). Бинарное отношение равенства определяется так:

\(  \large x=y \stackrel{ \textrm{def}}{\Leftrightarrow }  \forall P (P(x) \leftrightarrow P(y)) \).
 
Сказали спасибо: deg1999

Оффлайн deg1999

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Ого! Спасибо. Не знал такого.
Буду заходить на этот форум.  :)

А что значит def над двойной стрелкой?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
Спасибо.

Пожалуйста.

Буду заходить на этот форум.

Заходите! Ждём с новыми вопросами и задачами!  :)

Def означает "по определению", а двойной стрелкой обозначается равносильность, эквивалентность. В данном случае равносильность по определению.
Суть определения равенства в том, что каково бы ни было свойство \(  \large P \), предикаты \(  \large P(x) \) и \(  \large P(y) \) эквивалентны.
 

Оффлайн deg1999

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Ещё раз спасибо!
 

Оффлайн ANDREY1998

  • Пользователь
  • Сообщений: 10
    • Просмотр профиля
Даны предикаты \(  \large A(x)  \) - "\(  \large x  \) является простым числом", \(  \large  B(x)   \) - "\(  \large x  \) является чётным числом". Записать словами высказывания, написанные на языке логики предикатов:

1)\(  \large \forall x ( B(x) \to A(x))  \),

2) \(  \large \exists x (A(x) \wedge B(x))  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
1) Любое чётное число является простым (общеутвердительное ложное высказывание).

2) Существует простые числа, которые являются чётными (частноутвердительное истинное высказывание).
 

Оффлайн gost16

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
    • Просмотр профиля
Введите одноместные предикаты на соответствующих областях и запишите при их помощи следующие высказывания в виде формула алгебры предикатов: "все собаки обладают хорошим обонянием"
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
Пусть \(  \large A(x)  \) и \(  \large B(x)  \) - предикаты, определённые на множестве животных, причём \(  \large A(x)  \) означает "\(  \large x  \) является собакой", \(  \large B(x)  \) - "\(  \large x  \) обладает хорошим обонянием". Тогда высказыванию "Все собаки обладают хорошим обонянием" ("Любой объект если он является собакой, то он обладает хорошим обонянием") соответствует формула алгебры высказываний

\(  \large \forall x (A(x) \to B(x))  \).
 

Оффлайн matanshik

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
Всем привет!
Интересен такой вопрос. Как записать определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей), используя логику предикатов?
Заранее благодарю за ответ.

P.S. Мне не для сдачи экзамена или зачёта, а просто интересно.  :)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
Как известно, определение предела функции на языке последовательностей, принадлежащее Гейне, гласит следующее. Пусть \(  \large f \colon X \to Y  \) - функция, где \(  \large X, Y \subseteq \mathbb{R}  \). Число \(  \large b  \) называется пределом функции в точке \(  \large a  \), если для любой последовательности \(  \large x_n  \), которая сходится к \(  \large a  \), \(  \large x_n \in X  \) и \(  \large x_n \not = a  \), последовательность \(  \large f(x_n)  \) сходится к \(  \large b  \). Поскольку последовательность есть функция натурального аргумента, а нам нужно формализовать слово "любой", применённое к последовательности \(  \large x_n  \), придётся использовать язык логики предикатов второго порядка (там разрешается навешивать кванторы по предикатным и функциональным переменным). Таким образом, получится что-то такое:

\(  \large \lim\limits_{x \to a}f(x) = b \stackrel{\textrm{def} \ (Гейне)}{\Leftrightarrow} \forall x_n(( \lim\limits_{n \to \infty} x_n=a \wedge x_n \in X \wedge x_n \not = a) \to ( \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n)=b))  \).
 
Сказали спасибо: matanshik

Оффлайн matanshik

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
Спасибо.
А что такое логика предикатов второго порядка? Где можно почитать об этом?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
Булос, Джеффри, Вычислимость и логика; Войшвилло, Дегтярёв, Логика как часть теории познании и научной методологии.
 
Сказали спасибо: matanshik

Оффлайн JOHN495

  • Пользователь
  • Сообщений: 21
    • Просмотр профиля
Записать на языке логики предикатов высказывание и построить его отрицание: "Всякий, в ком есть упорство, может изучить логику".
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
Само высказывание имеет вид \(  \large \forall x (P(x) \to Q(x))  \). Чтобы построить отрицание, используйте один из законов де Моргана для кванторов, выразите импликацию через дизъюнкцию и отрицание, используйте один законов де Моргана для логики высказываний и закон двойного отрицания.
Если будут вопросы, спрашивайте.
 

Оффлайн Любовь

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Записать логическую структуру определения
Определение. Геометрические тела, ограниченные конечным числом плоских многоугольников, – многогранники.
Например: Определение. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
Определение номинальное, классическое( через род «фигура» и видовое отличие «окружность»
Логическая структура определения:
𝜔𝑂𝑅⇔(∀𝐴∈𝜔𝑂𝑅):(𝑂𝐴−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡=𝑅), где 𝜔𝑂𝑅 окружность с центром в точке O и радиуса R.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
Здравствуйте! К сожалению, ваши символы не читаются.
Логическую структуру какого определения нужно записать?
Я так понимаю, что нужно записать определение на языке логики предикатов. Верно?
 

Оффлайн Любовь

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Определение. Геометрические тела, ограниченные конечным числом плоских многоугольников, – многогранники.
___________
Да,верно.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5232
  • Поблагодарили: 1586 раз(а)
    • Просмотр профиля
Мои пять копеек. Во-первых, перефразируем определение, используя понятие множества. Многогранником называется множество точек (трёхмерного пространства), ограниченных конечным числом плоских многогранников. Во-вторых, каждый многогранник есть часть некоторой плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид

\(  \large Ax+By +Cz+D=0  \).

Пусть уравнения \(  \large A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0  \), где \(  \large i=1,2, \ldots, n  \), определяют упомянутые выше плоскости. И пусть предикат \(  \large P_i(x,y,z)  \) обозначает предложение "точки с координатами \(  \large (x,y,z)  \) ограничены плоскостью \(  \large A_ix+B_ix+C_ix+D_i=0  \)". Тогда можно сказать, что многогранником называется такое множество точек \(  \large (x,y,z)  \), что

\(  \large \forall x \ \forall y \ \forall z (P_1(x,y,z) \wedge P_2(x,y,z) \wedge \ldots \wedge P_n(x,y,z))  \).

Не исключено, что можно выразить точнее, но в первом приближении как-то так.
 
Сказали спасибо: Alexey, Любовь