Автор Тема: Как вычислить неопределённый интеграл?  (Прочитано 3072 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5225
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Таблица неопределённых интегралов

1) \(  \large \int 0 \cdot dx=C \);

2) \(  \large  \int x^{\alpha}dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C, \ \alpha \in \mathbb{R}   \);

3) \(  \large \int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C   \);

4) \(  \large \int  a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C   \);

5) \(  \large \int  \sin x dx=- \cos x +C  \);

6) \(  \large \int  \cos x dx=\sin x +C   \);

7) \(  \large \int  \frac{dx}{\cos^2 x}=tg \ x +C   \);

8) \(  \large \int  \frac{dx}{\sin^2 x}=-ctg \ x +C  \);

9) \(  \large \int  \frac{dx}{x^2+1}=arctg \ x +C   \);

10) \(  \large \int  \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C   \).

Правила интегрирования

1) \(  \large \int  C  f(x) dx= C \int f(x) dx \);

2) \(  \large \int  (  f(x) \pm g(x) ) dx=  \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \);

3) \(  \large \int  f(g(x))g'(x)  dx= \int f(t) dt, \ t=g(x)  \);

4) \(  \large \int  f(x) dx= \int f(g(t))g'(t) dt, \ x=g(t)  \);

5) \(  \large \int  u dv=u v - \int v du, \ u=u(x), \ v=v(x) \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Student123

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #1 : Сентябрь 09, 2015, 06:38:38 pm »
Нужно вычислить интеграл \(  \int e^x \cos x dx \). Помогите, пожалуйста.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5225
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #2 : Сентябрь 09, 2015, 06:46:52 pm »
Будем использовать интегрирование по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \). Здесь \( u=e^x, \ dv=\cos xdx= d( \sin x) \). Тогда \( du=e^xdx, \ v=\sin x \) Пусть \( I=\int e^x \cos x dx \). Имеем: \( I=e^x \sin x - \int \sin x e^x dx \). Снова интегрируем по частям: \( u=e^x, \ dv= \sin x dx, \ du=e^x dx, \ v=-\cos x \). Получим: \( I=e^x \sin x -uv+\int v du=e^x \sin x +e^x \cos x-\int e^x \cos x dx  \). Итак, \( I=e^x ( \cos x + \sin x)-I \). Значит, \( I=\frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x)+C \).
 

Оффлайн Student123

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #3 : Сентябрь 09, 2015, 08:02:59 pm »
Спасибо!
 

Оффлайн dexx123

  • Пользователь
  • Сообщений: 22
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #4 : Сентябрь 12, 2015, 07:58:46 pm »
Помогите вычислить интеграл: \( \Large \int \frac{\sqrt{x+1}- \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5225
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #5 : Сентябрь 12, 2015, 08:08:08 pm »
Умножи числитель и знаменатель подынтегральной функции на \( \large \sqrt{x+1}- \sqrt{x-1} \), а потом используем подстановку Эйлера: \( \large t=\frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{x-x_1} \), где \( x_1 \) - один из корней многочлена \( ax^2+bx+c \).

Имеем:

1) \( \Large \int \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2}{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x-1})^2}dx=\int \frac{x+1-2\sqrt{x^2-1}+x-1}{x+1-x+1}dx= \int (x-\sqrt{x^2-1})dx=I \);

2) \( \Large t=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1} \ \Rightarrow \ t^2=\frac{x+1}{x-1} \ \Rightarrow \ x=\frac{t^2+1}{t^2-1} \ \Rightarrow \ dx=\frac{2t(t^2-1)-2t(t^2+1)}{(t^2-1)^2}dt=-4\frac{tdt}{(t-1)^2(t+1)^2}  \)

3) \( \Large I= -4\int \left( \frac{t^2+1}{t^2-1}-t\left(\frac{t^2+1}{t^2-1}-1\right) \right) \frac{t}{(t-1)^2(t+1)^2}dt=-4 \int \frac{tdt}{(t-1)(t+1)^3} \)

Таким образом, интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби.
 
Сказали спасибо: dexx123

Оффлайн Max

  • Пользователь
  • Сообщений: 19
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #6 : Сентябрь 14, 2015, 10:01:12 pm »
Помогите вычислить неопределённый интеграл: \( \Large \int \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}dx \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5225
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #7 : Сентябрь 19, 2015, 09:59:29 pm »
1) Разложим на множители знаменатель подынтегральной дроби:

\( \large x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1) \).

2) Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

\( \large \frac{x^2+1}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=\frac{ax+b}{x^2-x+1}+\frac{cx+d}{x^2+x+1}=\frac{(a+c)x^3+(a+b-c+d)x^2+(a+b+c-d)x+(b+d)}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)} \ \Rightarrow \ \)

\( \Rightarrow \ (a+c)x^3+(a+b-c+d)x^2+(a+b+c-d)x+(b+d)=0x^3+x^2+0x+1 \ \Rightarrow   \)

\( \Rightarrow \ \begin{cases} a+c=0 \\  a+b-c+d=1 \\ a+b+c-d=0 \\ b+d=1\end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=0 \\ b=\frac{1}{2} \\ c=0 \\ d=\frac{1}{2} \end{cases} \ \Rightarrow \ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x^2-x+1}+\frac{1}{x^2+x+1} \right) \)

3) Исходный интеграл сводится к сумме двух более простых интегралов: \( \large \int \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}dx=\frac{1}{2} \left(\int \frac{dx}{x^2-x+1} + \int \frac{dx}{x^2+x+1} \right) \).
 

Оффлайн Brun Hilde

  • Пользователь
  • Сообщений: 15
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #8 : Декабрь 05, 2015, 05:45:42 pm »
Найти интегралы, используя методы подстановки и интегрирования по частям:

а) \(  \Large \int \frac{1 + \sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-1} dx \);

б) \(  \Large \int x \sin 2x \cos 2x dx \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5225
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #9 : Декабрь 05, 2015, 09:07:19 pm »
а) Положим \(  \large 1+x=t^2  \). Тогда \(  \large \sqrt{1+x}=t \), \(  \large dx=2tdt \). Значит, исходный интеграл примет следующий вид:

\(  \Large \int \frac{1+t}{t-1} 2t dt=2 \int \frac{t^2+t}{t-1} dt=2 \int \frac{t^2-t+2t}{t-1}dt=2 \int tdt + 4 \int \frac{t}{t-1}dt=2 \int tdt + 4 \int \frac{t-1+1}{t-1}dt= \)

\(  \Large =2 \int tdt + 4 \int dt +4 \int \frac{d(t-1)}{t-1}=t^2+4t+ 4 \ln |t-1|+C= \)

\(  \Large =1+x+4 \sqrt{1+x}+4 \ln |\sqrt{1+x}-1|+C \).

б) Так как \(  \large \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x \), то исходный интеграл примет вид \(  \large \frac{1}{2} \int x \sin 4x=I \). Пусть \(  \large u=x, \ dv = \sin 4x  \). Значит, \(  \large du=x'dx=dx, \ v = \int \sin 4x = \frac{1}{4} \int \sin 4x d(4x)=-\frac{1}{4} \cos 4x \). Тогда, используя формулу интегрирования по частям \(  \large \int u dv=uv - \int vdu \), получим:

\(  \Large I=-\frac{x}{4} \cos 4x + \frac{1}{4} \int \cos 4x dx=-\frac{x}{4} \cos 4x + \frac{1}{16} \int \cos 4x d(4x)=C - \frac{x}{4} \cos 4x + \frac{1}{16} \sin 4x   \).
 

Оффлайн max3490

  • Пользователь
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #10 : Январь 22, 2016, 02:25:37 pm »
Решите интеграл, только распишите подробно, что и как из чего получается)

\(  \Large \int \frac{dx}{(2+ \cos x) \sin x} \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5225
  • Поблагодарили: 1582 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Как вычислить неопределённый интеграл?
« Ответ #11 : Январь 22, 2016, 07:46:37 pm »
Пусть \(  \large \textrm{tg} \frac{x}{2}=t \). Тогда:

1) \(  \Large \cos x =\frac{ \cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right)}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}+  \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - \textrm{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \textrm{tg}^2 \frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2} \);

2) \(  \Large \sin x =\frac{ \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2}\right)}{1}=\frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}+  \sin^2 \frac{x}{2}}= \frac{2\textrm{tg} \frac{x}{2}}{1 + \textrm{tg}^2 \frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2} \);

3) \(  \Large x= 2 \textrm{arctg} t  \);

4) \(  \Large dx= 2 \frac{dt}{1+t^2}  \).

Следовательно, исходный интеграл примет вид

\(  \Large \int \frac{2 dt}{(1+t^2) \cdot \frac{2t}{1+t^2} \cdot \left( 2 + \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)} \) или \(  \Large \int  \frac{1+t^2}{t(3+t^2)}dt  \).

Таким образом, задача сводится к интегрированию рациональной дроби.