Автор Тема: Вычислить определитель двумя способами  (Прочитано 1148 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн lin_al

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Вычислить определитель двумя способами
« : Сентябрь 16, 2015, 01:32:09 pm »
Помогите вычислить определитель двумя способами:

\(  \begin{vmatrix}1 & 2 & 3& 4 \\ 4 & 7 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 12 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} \).

Было бы здорово увидеть подробное решение!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Вычислить определитель двумя способами
« Ответ #1 : Сентябрь 16, 2015, 10:26:42 pm »
Первый способ - разложение по третьей строке или второму столбцу (там больше всего нулей). Второй способ - приведение к треугольному виду.

1) Разложение второму столбцу. \(  \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 7 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 12 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & 10 \end{vmatrix}= 2(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 8 & 1 \\ 0 & 12 & 11 \\1 & 2 & 0 \end{vmatrix} + 7(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 12 & 11 \\ 1 & 2 & 10\end{vmatrix}=-355 \). Определители третьего порядка вычислены по правилу Саррюса.

2) Приведение к треугольному виду. Умножим первую строку на \( -4 \) и прибавим ко второй, умножим первую строку на \( -1 \) и прибавим к четвёртой. Получим следующий определитель: \(  \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -4 & -15 \\ 0 & 0 & 12 & 11 \\ 0 & -2 & -1 & 6 \end{vmatrix} \). Умножив вторую строку полученного определителя на \( -2 \) и прибавив её к четвёртой строке, получим: \(  \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -4 & -15 \\ 0 & 0 & 12 & 11 \\ 0 & 0 & 7 & 36\end{vmatrix} \). Умножим третью строку полученного определителя на \( -7 \), четвёртую строку - на \( 12 \), а сам определитель - на \( -\frac{1}{12 \cdot 7} \) (чтобы он не изменился). Получим такой определитель: \( -\frac{1}{84} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -4 & -15 \\ 0 & 0 & -84 & -77 \\ 0 & 0 & 84 & 432\end{vmatrix} \). Сложим две последние строки полученного определителя: \( -\frac{1}{84} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -4 & -15 \\ 0 & 0 & -84 & -77 \\ 0 & 0 & 0 & 355 \end{vmatrix}=-\frac{1}{84} \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-84) \cdot 355=-355 \).
 

Оффлайн lin_al

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
    • Просмотр профиля
Вычислить определитель двумя способами
« Ответ #2 : Сентябрь 17, 2015, 01:32:56 pm »
Огромное спасибо!
 

Оффлайн Boom-Aga

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Вычислить определитель двумя способами
« Ответ #3 : Сентябрь 30, 2015, 04:26:55 pm »
\(  \large \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 8 & 7 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{vmatrix} \)

нужно решить двумя способами
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Вычислить определитель двумя способами
« Ответ #4 : Октябрь 01, 2015, 03:50:27 pm »
Сразу хочется разложить по последней строке и свести всё к вычислению определителя третьего порядка. А ещё можно сделать определитель треугольным.

Способ I.

Разложим определитель по последней строке:

\(  \large \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 8 & 7 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}=9 \cdot (-1)^{4+4} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \).

Полученный определитель третьего порядка также разложим по последней строке:

\(  \large \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 7 \end{vmatrix}  \).

Определитель второго порядка вычислим по формуле \(  \large \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11} a_{22}-a_{21}a_{12} \):

\(  \large \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 7 \end{vmatrix}=1 \cdot 7 - 2 \cdot 8=7-16=-9 \).

Итак, \(  \large \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 8 & 7 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}=9 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-9)=-81 \).

Способ II.

Верхнетреугольным называется определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Приведём определитель к верхнетреугольному виду, для чего умножим его первую строку на \(  \large -8 \) и сложим её со второй строкой:

\(  \large \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 8 & 7 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & -9 & -24 & -54 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{vmatrix} \).

Верхнетреугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали:

\(  \large \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & -9 & -24 & -54 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}=1 \cdot (-9) \cdot 1 \cdot 9=-81 \).