Автор Тема: Вторая производная параметрически заданной функции  (Прочитано 1061 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Константин

  • Пользователь
  • Сообщений: 156
    • Просмотр профиля
Найти \(  \Large \frac{d^2 y}{dx^2} \), если \(  \large x=a \cos^2 t, \ y = a \sin^2 t \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найдём первую производную:

\(  \Large \frac{dy}{dx}=\frac{y'_t}{x'_t}=\frac{2 a \sin t  \cos t}{2 a \cos t (- \sin t)}=-1  \).

Вычислим вторую производную:

\(  \Large \frac{d^2 y}{dx^2}= \frac{(y'_x)'_t}{x'_t}=\frac{0}{-a \sin 2t}=0 \).

Можно выполнить проверку правильности вычислений, если исключить параметр \(  \large t \) и найти производные напрямую:

\(  \large \begin{cases} x = a \cos^2 t \\ y=a -a \cos^2 t \end{cases} \ \Rightarrow \ y=a-x \).

Тогда \(  \Large \frac{dy}{dx}=-1, \ \frac{d^2 y }{dx^2}=0 \).