Автор Тема: Найти интервал сходимости степенного ряда  (Прочитано 1676 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Xperia

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Найти область сходимости степенных рядов:

а) \(  \Large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{10^n x^n}{\sqrt{n}} \); б) \(  \Large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2n+1} \).

Помогите, пожалуйста, с решением.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найти интервал сходимости степенного ряда
« Ответ #1 : Ноябрь 27, 2015, 12:16:32 pm »
а) Чтобы найти область сходимости данного ряда, применим признак Даламбера в предельной форме к ряду, составленному из аюсолютных величин членов данного ряда. Получим:

\(  \Large \lim\limits_{n \to \infty} \left|  \frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n} \right|=\lim\limits_{n \to \infty} \left|  \frac{10^{n+1} \cdot x^{n+1}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{10^n \cdot x^n}  \right| =10 |x| \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n+1}}=10|x| \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{ \frac{1}{1+\frac{1}{n}}}= \)

\(  \Large =10|x|<1 \ \Leftrightarrow \ x \in \left(  -\frac{1}{10}; \frac{1}{10} \right) \).

Следовательно, областью сходимости ряда является интервал \(  \large \left( -\frac{1}{10}; \frac{1}{10} \right) \).

Проверим, сходится ли рассматриваемый степенной ряд на границах интервала.
Пусть \(  \large x=-\frac{1}{10} \). Тогда получим ряд \(  \Large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}  \). Он не обладает абсолютной сходимостью, поскольку ряд \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}  \) расходится. Однако ряд ряд \(  \Large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}  \) сходится условно, согласно теореме Лейбница, так как \(  \large \forall n \in \mathbb{N} \ \frac{1}{\sqrt{n}}> \frac{1}{\sqrt{n+1}} \), \(  \large \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0 \).
Пусть \(  \large x=\frac{1}{10} \). Тогда получим ряд \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}  \). Он, как было сказано выше, расходится.

Итак, ряд \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{10^n x^n}{\sqrt{n}} \) сходится при \(  \large x \in \left[  -\frac{1}{10}; \frac{1}{10} \right) \).

б) Совершенно аналогично находим область сходимости второго степенного ряда:

\(  \Large \lim\limits_{n \to \infty}  \left|  \frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n} \right|=\lim\limits_{n \to \infty} \left|  \frac{x^{n+1}}{2n+3} \cdot \frac{2n+1}{x^n} \right|=|x|< 1 \ \Leftrightarrow \ x \in (-1;1) \).

При \(  \large x=-1 \) получим знакопеременный ряд \(  \Large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \), который не обладает абсолютной сходимостью, поскольку ряд \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \) расходится как сравнимый с гармоническим (гармонический ряд - ряд, составленный из величин, обратных числам натурального ряда, - расходится). Однако ряд \(  \Large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \) сходится условно (в силу признака Лейбница), так как \(  \large \forall n \in \mathbb{N} \ \frac{1}{2n+1} > \frac{1}{2(n+1)+1} \), \(  \large \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1}=0 \).

При \(  \large x=1 \) получим ряд \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \), который расходится.

Значит, ряд \(  \Large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2n+1} \) сходится при \(  \large x \in [-1;1) \).

О том, как исследовать числовые ряды на сходимость (мы делали это, решая вопрос о сходимости степенного ряда на границах интервала сходимости), можно почитать тут - http://maths24.net/index.php?topic=119.0.
 

Оффлайн Isabel

  • Пользователь
  • Сообщений: 30
    • Просмотр профиля
Найти интервал сходимости степенного ряда
« Ответ #2 : Декабрь 13, 2015, 04:29:13 pm »
Найти область сходимости степенного ряда \(  \Large \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-7)^n x^n}{n^2+5n+1}  \). Провести исследование на границах области сходимости рядов.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найти интервал сходимости степенного ряда
« Ответ #3 : Декабрь 13, 2015, 07:46:47 pm »
Применим признак Даламбера к ряду \(  \Large \sum\limits_{n=0}^{\infty} | a_n x^n|  \), где \(  \Large a_n=\frac{(-7)^n}{n^2+5n+1} \), поскольку данный признак сходимости применим лишь к положительным рядам. Имеем:

\(  \Large \lim\limits_{n \to \infty} \left|  \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n}  \right| = \lim\limits_{n \to \infty} \left|  \frac{-7 \cdot (-7)^n x^{n+1}}{(n+1)^2 + 5 (n+1)+1} \cdot \frac{n^2+5n+1}{(-7)^n x^n}  \right|=7 \lim\limits_{n \to \infty} |x|<1 \ \Leftrightarrow \ x \in \left(- \frac{1}{7}; \frac{1}{7} \right) \).

При \(  \large x=-\frac{1}{7} \) получим ряд \(  \Large \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2+5n+1} \), который сходится как сравнимый со сходящимся рядом \(  \Large \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). При \(  \large x=\frac{1}{7} \) получим абсолютно сходящийся ряд \(  \Large \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+5n+1} \), поскольку ряд \(  \Large \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2+5n+1} \) сходится.

Итак, ряд \(  \Large \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-7)^n}{n^2+5n+1}   \) сходится при \(  \Large x \in \left[- \frac{1}{7}; \frac{1}{7} \right] \).