Автор Тема: Неопределённый интеграл  (Прочитано 252 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Max

  • Пользователь
  • Сообщений: 19
    • Просмотр профиля
Неопределённый интеграл
« : Сентябрь 14, 2015, 10:01:12 pm »
Помогите вычислить неопределённый интеграл: \( \Large \int \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}dx \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Неопределённый интеграл
« Ответ #1 : Сентябрь 19, 2015, 09:59:29 pm »
1) Разложим на множители знаменатель подынтегральной дроби:

\( \large x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1) \).

2) Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

\( \large \frac{x^2+1}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=\frac{ax+b}{x^2-x+1}+\frac{cx+d}{x^2+x+1}=\frac{(a+c)x^3+(a+b-c+d)x^2+(a+b+c-d)x+(b+d)}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)} \ \Rightarrow \ \)

\( \Rightarrow \ (a+c)x^3+(a+b-c+d)x^2+(a+b+c-d)x+(b+d)=0x^3+x^2+0x+1 \ \Rightarrow   \)

\( \Rightarrow \ \begin{cases} a+c=0 \\  a+b-c+d=1 \\ a+b+c-d=0 \\ b+d=1\end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=0 \\ b=\frac{1}{2} \\ c=0 \\ d=\frac{1}{2} \end{cases} \ \Rightarrow \ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x^2-x+1}+\frac{1}{x^2+x+1} \right) \)

3) Исходный интеграл сводится к сумме двух более простых интегралов: \( \large \int \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}dx=\frac{1}{2} \left(\int \frac{dx}{x^2-x+1} + \int \frac{dx}{x^2+x+1} \right) \).