Автор Тема: Найти производную n-го порядка  (Прочитано 313 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Max

  • Пользователь
  • Сообщений: 19
    • Просмотр профиля
Найти производную n-го порядка
« : Сентябрь 14, 2015, 09:53:44 pm »
Найти \( y^{(n)} \), если \( y=\sqrt{ax+b} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4910
  • Поблагодарили: 1565 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найти производную n-го порядка
« Ответ #1 : Октябрь 10, 2015, 05:37:58 pm »
Найдём последовательно несколько производных:

1) \(  \Large y'=( (ax+b)^{\frac{1}{2}} )'=\frac{1}{2}(ax+b)^{-\frac{1}{2}}a \);

2) \(  \Large y''=\frac{a}{2}( (ax+b)^{-\frac{1}{2}} )'=-\frac{a^2}{2^2}(ax+b)^{-\frac{3}{2}} \);

3) \(  \Large y'''=-\frac{a^2}{2^2} ( (ax+b)^{-\frac{3}{2}} )'=\frac{3a^3}{2^3}(ax+b)^{-\frac{5}{2}} \);

4) \(  \Large y^{IV}=\frac{3a^3}{2^3}( (ax+b)^{-\frac{5}{2} })'=-\frac{15a^4}{2^4}(ax+b)^{-\frac{7}{2}} \).

Замечаем закономерность: \(  \Large y^{(n)}=(ax+b)^{\frac{1}{2}-n} \cdot \left(- \frac{a}{2} \right)^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n}(2k-3) \). Докажем это индукцией по номеру \(  \large n \) производной.

При \(  \Large n=1 \) имеем: \(  \Large y'=(ax+b)^{\frac{1}{2}-1}\left(- \frac{a}{2} \right)(2-3)=\frac{a}{2}(ax+b)^{-\frac{1}{2}} \).

Предположим, что \(  \Large y^{(n)}=(ax+b)^{\frac{1}{2}-n} \cdot \left(- \frac{a}{2} \right)^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n}(2k-3) \).

Основываясь на предположении, докажем, что \(  \Large y^{(n+1)}=(ax+b)^{\frac{1}{2}-(n+1)} \cdot \left(- \frac{a}{2} \right)^{n+1} \cdot \prod\limits_{k=1}^{n+1}(2k-3) \). Имеем: \(  \Large y^{(n+1)}=((ax+b)^{\frac{1}{2}-n})' \cdot \left(- \frac{a}{2} \right)^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n}(2k-3)= \\ \Large(ax+b)^{\frac{1}{2}-(n+1)} \cdot \left( \frac{1}{2}-n \right) \cdot a \cdot  \left(- \frac{a}{2} \right)^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n}(2k-3)  \)
Так как \(  \Large \left( \frac{1}{2}-n \right) \cdot a \cdot  \left(- \frac{a}{2} \right)^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n}(2k-3)=\left( -\frac{a}{2}\right)^{n+1 } \cdot (2n-1) \cdot \prod\limits_{k=1}^{n}(2k-3)=\left( -\frac{a}{2}\right)^{n+1 } \cdot \prod\limits_{k=1}^{n+1}(2k-3) \), то \(  \Large y^{(n+1)}=(ax+b)^{\frac{1}{2}-(n+1)} \cdot \left( -\frac{a}{2}\right)^{n+1 } \cdot  \prod\limits_{k=1}^{n+1}(2k-3)  \).

Итак, \(  \Large \forall n \in \mathbb{N} \ y^{(n)}=(ax+b)^{\frac{1}{2}-n} \cdot \left(- \frac{a}{2} \right)^n \cdot \prod\limits_{k=1}^{n}(2k-3) \).