Автор Тема: Предел с логарифмом  (Прочитано 292 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Max

  • Пользователь
  • Сообщений: 19
    • Просмотр профиля
Предел с логарифмом
« : Сентябрь 14, 2015, 09:46:19 pm »
Помогите вычислить предел функции:

\[ \large \lim_{x \to a} \frac{\ln x - \ln a}{x-a} \]
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Предел с логарифмом
« Ответ #1 : Сентябрь 20, 2015, 12:46:00 pm »
Cпособ №1.
Проведём некоторые преобразования: \( \large \lim\limits_{x \to a}{\frac{\ln x - \ln a}{x-a}}=\lim\limits_{x \to a}{\left( \frac{1}{x-a}\ln \frac{x}{a} \right)}=\lim\limits_{x \to a} \ln \left( \frac{x}{a}\right)^{\frac{1}{x-a}}=\ln \lim\limits_{x \to a}  \left( \frac{x}{a}\right)^{\frac{1}{x-a}}=L \).
Пусть \( \large y=x-a \). Тогда \( \large x=y+a \), \( \large y \to 0 \) при \( \large x \to a \). Далее \( L=\ln \lim\limits_{y \to 0} \left( \frac{y+a}{a} \right)^{\frac{1}{y}}=\ln \lim\limits_{y \to 0} \left(1+ \frac{y}{a}\right)^{\frac{a}{y} \cdot \frac{1}{a}}=\ln e^{\frac{1}{a}}=\frac{1}{a} \).

Способ №2.
Используем правило Лопиталя: \( \large \lim\limits_{x \to a}{\frac{\ln x - \ln a}{x-a}}=\lim\limits_{x \to a}{\frac{(\ln x - \ln a)'}{(x-a)'}}=\lim\limits_{x \to a}{\frac{\frac{1}{x}}{1}}=\frac{1}{a} \).