Автор Тема: Составить канонические уравнения линий второго порядка  (Прочитано 2859 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн xana666

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

1) \( 2c=10,  \ a=3 \);

2) \( c=3, \ \varepsilon=\frac{3}{2} \);

3) \( b=6 \), уравнения асимптот \( y= \pm \frac{5}{3}x \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид \( \large \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \), где \( \large b^2=c^2-a^2 \), \( \large F \ ( \pm c;0) \) - координаты фокусов.

1) Известно, что \( \large 2c=10, \ a=3 \). Отсюда \( \large b=\sqrt{5^2-3^2}=4 \). Значит, \( \large \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 \) - искомое уравнение.

2) Согласно условию, \( \large c=3, \ \varepsilon=\frac{3}{2} \). Эксцентриситет гиперболы \( \large \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) находится по формуле \( \large \varepsilon=\frac{c}{a} \). Следовательно, \( \large \frac{3}{a}=\frac{3}{2} \ \Leftrightarrow \ a=2 \). Так как \( \large b^2=c^2-a^2 \), то \( \large b =\sqrt{5} \). Итак, \( \large \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1 \) - нужное нам уравнение.

3) Уравнения асимптот гиперболы \( \large \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) имеют вид \( \large y= \pm \frac{b}{a}x \). По условию задачи \( \large \frac{b}{a}=\frac{5}{3}, \ b=6 \). Тогда \( \large \frac{6}{a}=\frac{5}{3} \ \Leftrightarrow \ a=\frac{18}{5} \), и \( \large \frac{25x^2}{324}-\frac{y^2}{36}=1 \) - уравнение искомой гиперболы.
 

Оффлайн xana666

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
Спасибо! Очень подробно, как в учебнике.
 

Оффлайн Плохой студент

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
Составить уравнение эллипса, если:

а) расстояние между директрисами равно \(  \large 12 \), а большая ось равна \(  \large 2 \sqrt{3} \);

б) расстояние между директрисами равно \(  \large \frac{72}{\sqrt{11}} \), а между фокусами \(  \large 2 \sqrt{11} \);

в) расстояние между директрисами равно \(  \large 4 \sqrt{15} \), а эксцентриситет \(  \large \varepsilon=\frac{\sqrt{2}}{2} \);

г) прямые \(  \large x= \pm \frac{8}{\sqrt{3}} \) служат директрисами эллипса, а малая полуось равна \(  \large 2 \).

Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

а) гипербола проходит через точки \(  \large (4,0) \) и \(  \large (4 \sqrt{17},4) \);

б) гипербола проходит через точку \(  \large (-5,3) \) и имеет эксцентриситет \(  \large \varepsilon=\sqrt{2} \);

в) гипербола имеет асимптоты \(  \large 4y \pm 3x=0 \) и директрисы \(  \large 5x \pm 16=0 \);

г) гипербола является равнобочной и проходит через точку \(  \large ( \sqrt{2},1) \).

Составить каноническое уравнение параболы в каждом из следующих случаев:

а) фокус имеет координаты \(  \large (3,0) \);

б) фокус имеет координаты \(  \large (0,5) \);

в) директриса имеет уравнение \(  \large x+15=0 \);

г) директриса имеет уравнение \(  \large y+12=0 \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
1. Будем считать, что во всех случаях речь идёт об эллипсе, фокусы которого лежат на оси абсцисс, а центр находится в начале координат. Уравнение такого эллипса имеет вид \(  \large \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) (данное уравнение называется каноническим), где \(  \large a>b \).

а) Директрисы эллипса определяются уравнениями \(  \large x=\pm \frac{a}{\varepsilon} \), где \(  \large \varepsilon \) - эксцентриситет. Согласно условию задачи, \(  \large \left| \frac{a}{\varepsilon } - \left( \frac{a}{\varepsilon} \right) \right|=12 \), а \(  \large 2b=2\sqrt{3} \). Известно, что эксцентриситет эллипса, заданного каноническим уравнения, находится по формуле \(  \large \varepsilon=\frac{c}{a} \), где \(  \large c^2=a^2-b^2 \). Итак, \(  \large \frac{a}{\varepsilon}=\frac{a^2}{c}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}=6 \), \(  \large a=\sqrt{3} \). Отсюда получим: \(  \large a=\sqrt{3} \), \(  \large b=\frac{\sqrt{11}}{2} \). Следовательно, искомое уравнение имеет вид \(  \large \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{\frac{11}{4}}=1 \).

б) Поскольку расстояние между директрисами эллипса равно \(  \large \frac{72}{\sqrt{11}} \), то \(  \large \frac{2a}{\varepsilon}=\frac{72}{\sqrt{11}} \). Значит, \(  \large \frac{a^2}{c}=\frac{36}{\sqrt{11}} \). Фокусы эллипса находятся в точках \(  \large F_{1,2} \ ( \pm c;0) \). Согласно условию задачи, \(  \large 2c=2\sqrt{11} \). Итак, \(  \large c=\sqrt{11} \), \(  \large \frac{a^2}{c}=\frac{36}{\sqrt{11}} \). Отсюда получим, что \(  \large a=6 \). Так как \(  \large b^2=a^2-c^2, то b=\sqrt{36-11}=5 \). Итак, \(  \large \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1 \) - искомое уравнение.

в) Так как расстояние между фокусами равно \(  \large 4 \sqrt{15} \), то \(  \large  \frac{a}{\varepsilon}=2 \sqrt{15} \). Известно, что эксцентриситет равен \(  \large \frac{\sqrt{2}}{2} \). Отсюда находим: \(  \large a=\sqrt{30} \). Поскольку \(  \large \varepsilon=\frac{c}{a} \), \(  \large c=\sqrt{a^2-b^2} \), а длина большой полуоси известна, как и величина эксцентриситета, то \(  \large b=\sqrt{ a^2( 1- \varepsilon^2 )}=\sqrt{30 \cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{15} \). Следовательно, \(  \large \frac{x^2}{30}+\frac{y^2}{15}=1 \) - уравнение, которое нужно было найти.

г) Поскольку уравнения директрис эллипса, заданного каноническими уравнениями, имеют вид \(  \large x= \pm \frac{a}{\varepsilon} \), то \(  \large \frac{a}{\varepsilon}=\frac{8}{\sqrt{3}} \). Длина малой полуоси задана: \(  \large b=2 \). Известно, что \(  \large \varepsilon=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \). Следовательно, \(  \large 3a^4-64a^2-256=0 \). Осталось решить биквадратное уравнение...

2. а) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид \(  \large \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \). Даны координаты двух точек, подставляем поочерёдно координаты этих точек, получаем систему уравнений относительно длин полуосей (точнее, их квадратов).

б) Эксцентриситет гиперболы находится по формуле \(  \large \varepsilon=\frac{c}{a} \), где \(  \large c=\sqrt{a^2+b^2} \). Подставляем координаты точки и величину эксцентриситета, получаем систему уравнений относительно длин действительной и мнимой полуосей.

в) Директрисы гиперболы, заданной каноническим уравнением, определяются уравнениями \(  \large x=\pm \frac{a}{\varepsilon} \), а асимптоты - уравнениями \(  \large ay \pm bx=0 \). Составляем уравнения...

г) Равнобочная гипербола задаётся уравнением \(  \large x^2+y^2=a^2 \). Подставляем координаты точки и находим \(  \large a \).

3. а) Каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси абсцисс, имеет вид \(  \large y^2=2px \), причём фокус находится в точке \(  \large F \ \left( \frac{p}{2};0 \right) \). Следовательно, \(  \large \frac{p}{2}=3 \). Тогда \(  \large p=6 \), а искомое уравнение - \(  \large y^2=12x \).

б) Если фокус параболы лежит на оси ординат, то каноническое уравнение данной линии имеет вид \(  \large x^2=2py \). Упомянутый выше фокус находится в точке с координатами \(  \large \left( 0; \frac{p}{2} \right) \). Значит, \(  \large \frac{p}{2}=5 \). Следовательно, \(  \large p=10 \), а \(  \large x^2=20y \) - уравнение, которое нужно было найти.

в) Директриса параболы, фокус которой лежит на оси абсцисс, определяется уравнением \(  \large x=-\frac{p}{2} \). Следовательно, \(  \large p=30 \). Значит, \(  \large y^2=60x \) - искомое уравнение.

г) Директриса параболы, фокус которой находится на оси ординат, задаётся уравнением \(  \large y=-\frac{p}{2} \). Тогда \(  \large p=24 \), а \(  \large x^2=48y \) - искомое уравнение.
 
Сказали спасибо: Плохой студент

Оффлайн Плохой студент

  • Пользователь
  • Сообщений: 8
    • Просмотр профиля
спасибо!
 

Оффлайн толян

  • Пользователь
  • Сообщений: 25
    • Просмотр профиля
1. Найти каноническое уравнение эллипса, если расстояние между концами большой и малой оси равно пяти, а сумма длин полуосей равна семи.

2. Найти уравнение гиперболы, зная, что её эксцентриситет равен двум, фокусы гиперболы совпадают с фокусом эллипса \(  \large x^2+10y^2=10 \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
1. Поскольку оси эллипса пересекаются под прямым углом, то его полуоси есть катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого, согласно условию задачи, равна пяти. Кроме того, известно, что сумма длин полуосей равна семи. Итак, используя теорему Пифагора, получим систему уравнений относительно длин полуосей эллипса:

\(  \large \begin{cases} a^2+b^2=5^2 \\ a+b=7 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=7-b \\ 49 -14b +b^2=25 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases}  b=4 \\ a=3\end{cases} \ \vee \begin{cases} b=3 \\ a=4 \end{cases} \).

Итак, получили два уравнения эллипса: \(  \large \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \) и \(  \large \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 \).

2. Так как эксцентриситет \(  \large \varepsilon \) гиперболы находится по формулe \(  \large \varepsilon=\frac{c}{a} \), где \(  \large c=\sqrt{a^2+b^2} \), \(  \large a \) - длина действительной полуоси, \(  \large b \) - длина мнимой полуоси, то \(  \large \frac{a^2+b^2}{a^2}=4 \). Следовательно, \(  \large 3a^2-b^2=0 \). Фокусы эллипса \(  \large \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) находятся в точках \(  \large F_{1,2} \ ( \pm c;0) \), где \(  \large c=\sqrt{a^2-b^2} \). Здесь \(  \large a=\sqrt{10} \), \(  \large b=1 \). Значит, \(  \large c=\sqrt{10-1}=3 \). Тогда \(  \large a^2+b^2=9 \). Итак, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно квадратов длин полуосей искомой гиперболы:

\(  \large \begin{cases} 3a^2-b^2=0 \\ a^2+b^2=9 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} 3a^2-b^2+a^2+b^2=9 \\ b^2=3a^2 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{3}{2} \\ b=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{cases} \).

Следовательно, \(  \Large \frac{x^2}{\frac{9}{4}} - \frac{y^2}{\frac{27}{4}}=1 \) - уравнение искомой гиперболы.
 

Оффлайн толян

  • Пользователь
  • Сообщений: 25
    • Просмотр профиля
спасибо
сам разобратся не смог
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Пожалуйста. Заходите на форум.
 

Оффлайн студень

  • Пользователь
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
1. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а длина большой полуоси равна 5.

2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно десяти, а расстояние между вершинами равно восьми.

3. Составить каноническое уравнение параболы, если она проходит через точку (1,-4).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
1. Уравнение эллипса будем искать в виде

\(  \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1  \),

где \(  \large a  \) - большая полуось, \(  \large b  \) - малая полуось. Известно, что

\(  \large a^2-b^2=c^2  \),

где \(  \large c  \) - абсолютная величина абсциссы фокуса.

Согласно условию,

\(  \large a=5, \ 2c=6  \).

Значит,

\(  \large 5^2-b^2=3^2  \).

Тогда \(  \large b=4  \) и искомое уравнение имеет вид

\(  \large \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16}=1  \).

2. Уравнение гиперболы будем искать в виде

\(  \large \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1  \),

где \(  \large a  \) - действительная полуось, \(  \large b  \) - мнимая полуось. Известно, что

\(  \large a^2+b^2=c^2  \),

где \(  \large c  \) - абсолютная величина абсциссы фокуса.

В силу условия задачи, имеем:

\(  \large 2c=10, \ 2a=8  \).

Тогда

\(  \large 25=16+b^2  \).

Следовательно, \(  \large b=3  \), а искомое уравнение имеет вид

\(  \large \frac{x^2}{16}- \frac{y^2}{9}=1  \).

3. Третья задача - проще некуда. Каноническое уравнение параболы имеет вид

\(  \large y^2=2px  \).

Известно, что она проходит через точку с абсциссой \(  \large 1  \) и ординатой \(  \large -4  \). Значит,

\(  \large 16=2p  \).

Следовательно, \(  \large p=8  \). Итак, уравнение параболы имеет вид

\(  \large y^2=16x  \).