Интеграл

[dexx123]

Помогите вычислить интеграл: \( \Large \int \frac{\sqrt{x+1}- \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx \).

[Admin]

Умножьте числитель и знаменатель подынтегральной функции на \( \large \sqrt{x+1}- \sqrt{x-1} \), а потом используйте подстановку Эйлера: \( \large t=\frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{x-x_1} \), где \( x_1 \) - один из корней многочлена \( ax^2+bx+c \).

[dexx123]

А Вы не могли бы написать подробное решение?

[Admin]

1) \( \Large \int \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2}{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x-1})^2}dx=\int \frac{x+1-2\sqrt{x^2-1}+x-1}{x+1-x+1}dx= \int (x-\sqrt{x^2-1})dx=I \);

2) \( \Large t=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1} \ \Rightarrow \ t^2=\frac{x+1}{x-1} \ \Rightarrow \ x=\frac{t^2+1}{t^2-1} \ \Rightarrow \ dx=\frac{2t(t^2-1)-2t(t^2+1)}{(t^2-1)^2}dt=-4\frac{tdt}{(t-1)^2(t+1)^2}  \)

3) \( \Large I= -4\int \left( \frac{t^2+1}{t^2-1}-t\left(\frac{t^2+1}{t^2-1}-1\right) \right) \frac{t}{(t-1)^2(t+1)^2}dt=-4 \int \frac{tdt}{(t-1)(t+1)^3} \)

Таким образом, интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби.