Автор Тема: Решить неоднородное рекуррентное соотношение  (Прочитано 1736 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн bonny

  • Пользователь
  • Сообщений: 46
    • Просмотр профиля
an+1 = an+n, a0 = 1.
Буду признателен, если как можно подробнее напишите для понимания...
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Решить неоднородное рекуррентное соотношение
« Ответ #1 : Ноябрь 21, 2015, 09:28:41 pm »
1) Сначала решим соответствующее однородное уравнение: \(  \large a_{n+1}-a_n=0 \). Положим \(  \large n=0 \), тогда \(  \large a_{1}=a_0 \). Положим \(  \large n=1 \), тогда \(  \large a_2=a_1=a_0 \). И так далее. Значит, \(  \large a_n=a_0 \). Пусть \(  \large a_0=C \), где \(  \large C \) - произвольная постоянная. Следовательно, \(  \large a_n=C \) - общее решение однородного рекуррентного соотношения.

2) Общее решение неоднородного рекуррентного уравнения \(  \large a_{n+1}-a_n=n \) будем искать в виде \(  \large a_n=C_n \), где \(  \large C_n \) - некоторая последовательность. Тогда \(  \large a_{n+1}=C_{n+1} \) и неоднородное уравнение примет вид \(  \large C_{n+1}-C_n=n \). Как и прежде последовательно будем придавать \(  \large n \) значения, равные \(  \large 0, \ 1, \ 2,  \) и так далее. Имеем:

а) \(  \large n=0: \ C_1=C_0+0 \);

б) \(  \large n=1: \ C_2=C_1+1=C_0+0+1 \);

в) \(  \large n=2: \ C_3=C_2+2=C_0+0+1+2 \).

И так далее. Значит, \(  \large C_n=C_0+(1+2+ \cdots + n-1)=C_0+\frac{n(n-1)}{2} \).
Итак, \(  \large a_n=C_0+\frac{n(n-1)}{2} \) - общее решение неоднородного рекуррентного уравнения.

3) Зная, что \(  \large a_0=1 \), найдём значение постоянной \(  \large C_0 \) и частное решение неоднородного рекуррентного уравнения:

\(  \large 1=C_0+\frac{0(0-1)}{2} \ \Leftrightarrow \ C_0=1 \).

Следовательно, \(  \large a_n=\frac{n(n-1)}{2}+1 \) - частное решение.

4) Выполним проверку. Поскольку \(  \large a_n=\frac{n(n-1)}{2}+1 \), то \(  \large a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+1 \). Подставим \(  \large a_{n+1} \) и \(  \large a_{n} \) в уравнение \(  \large a_{n+1}=a_n+n \):

\(  \large \frac{n(n+1)}{2}+1=\frac{n(n-1)}{2}+1+n \ \Leftrightarrow \ \frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2+n}{2} \).

Итак, уравнение решено верно.
 

Оффлайн bonny

  • Пользователь
  • Сообщений: 46
    • Просмотр профиля
Решить неоднородное рекуррентное соотношение
« Ответ #2 : Ноябрь 21, 2015, 11:14:29 pm »
Очень доходчиво, спасибо.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Решить неоднородное рекуррентное соотношение
« Ответ #3 : Ноябрь 21, 2015, 11:39:40 pm »
Пожалуйста. Ждём Вас на форуме с новыми задачами!