Автор Тема: СЛАУ  (Прочитано 230 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн excel

  • Пользователь
  • Сообщений: 2
    • Просмотр профиля
СЛАУ
« : Сентябрь 11, 2015, 06:30:06 pm »
Помогите исследовать СЛАУ на совместность и найти общее и частное решения, если система совместна:

\begin{cases} x_1+2x_2+3x_3-x_4=8  \\ 2x_1-x_2-4x_3+3x_4=1 \\  4x_1-7x_2-18x_3+11x_4=-13 \\ 3x_1+x_2-x_3+2x_4=9  \end{cases}
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4910
  • Поблагодарили: 1565 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: СЛАУ
« Ответ #1 : Сентябрь 13, 2015, 06:58:03 pm »
Запишем расширенную матрицу системы: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 & 8 \\ 2 & -1 & -4 & 3 & 1 \\ 4 & -7 & -18 & 11 & -13 \\ 3 & 1 & -1 & 2 & 9 \end{pmatrix} \). Умножим первую строку на \( -2 \), сложим со второй строкой, умножим первую строку на  \( -4 \), сложим с третьей строкой, умножим первую строку на \( -3 \), сложим с четвёртой строкой. Получим следующую матрицу: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 & 8 \\ 0 & -5 & -10 & 5 & -15 \\ 0 & -15 & -30 & 15 & -45 \\ 0 & -5 & -10 & 5 & -15 \end{pmatrix} \). Преобразуем полученную матрицу. Умножим вторую строку на \( -3 \) и сложим с третьей строкой, умножим вторую строку на \( -1 \) и сложим с четвёртой строкой. Умножим вторую строку на \( -\frac{1}{5} \) Преобразованная матрица имеет вид: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -0 \end{pmatrix} \). Очевидно, что её ранг равен двум. Выберем один из базисных миноров, например, \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1 \cdot 1 - 2 \cdot 0=1 \not = 0 \). Переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, а остальные - свободными. Здесь \( x_1, \ x_2 \) - главные переменные, \( x_3, \ x_4 \) - свободные переменные. Пусть \( X_3=C_1, \ x_4=C_2 \). Выразим главные переменные через свободные:

\[ \begin{cases}x_1+2x_2+3x_3-x_4=8 \\ x_2+2x_3-x_4=3  \\ x_3=C_1 \\ x_4=C_2 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x_1=2+x_3-x_4 \\ x_2=3-2x_3+x_4 \\ x_3=C_1 \\ x_4=C_2 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} x_1=2+C_1-C_2 \\ x_2=3-2x_3+x_4 \\ x_3=C_1 \\ x_4=C_2\end{cases} \]

Итак, \( (2+C_1-C-2, \ 3-2C_1+C_2, \ C_1, \ C_2) \) - общее решение системы. Положим, например, \( C_1=C_2=1 \). Тогда \( (2, \ 2, \ 1, \ 1) \) - частное решение системы.