Автор Тема: Эллипс  (Прочитано 543 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн matan

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Эллипс
« : Сентябрь 11, 2015, 11:43:50 am »
Найти уравнение касательной к эллипсу \( x^2+4y^2=20 \), перпендикулярной прямой \( y=x+50 \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #1 : Сентябрь 11, 2015, 09:39:50 pm »
Искомая касательная \( y=kx+b \) перпендикулярна прямой \( \large y=x+50 \). Следовательно, \( \large k \cdot 1=-1 \). Итак, уравнение касательной будем искать в виде \( \large y=-x+b \). Прямая касается эллипса тогда и только тогда, когда у них единственная общая точка. Значит, система уравнений \( \large \begin{cases} y=-x+b \\ x^2+4y^2=20 \end{cases} \) имеет только одно решение. Тогда и уравнение \( \large x^2+4(-x+b)^2=20 \) имеет единственное решение. Найдём его дискриминант и приравняем к нулю: \( \large 64b^2-20(4b^2-20)=0 \ \Leftrightarrow \ b= \pm 5 \). Итак, \( \large y=-x \pm 5 \) - искомые уравнения.
 

Оффлайн matan

  • Пользователь
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Re: Эллипс
« Ответ #2 : Сентябрь 11, 2015, 09:49:04 pm »
Спасибо. А я думал, что решать нужно через производные.