Автор Тема: Найти коэффициент в полиномиальном разложении  (Прочитано 2320 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Sadler42

  • Пользователь
  • Сообщений: 49
    • Просмотр профиля
Найдите коэффициент многочлена в разложении его по степеням x: \(  \large (1+x^2+x^3)^7  \) при \(  \large x^{11}  \).
 

Оффлайн phobos

  • Модератор
  • Сообщений: 95
  • Поблагодарили: 85 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найти коэффициент в полиномиальном разложении
« Ответ #1 : Ноябрь 14, 2015, 08:31:10 pm »
В соответствии с формулой полиномиального разложения:

\(  \large (1+x^{2}+x^{3})^{7}=\sum\limits_{k_{1}+k_{2}+k_{3}=7}\frac{7!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}\cdot 1^{k_{1}}\cdot (x^{2})^{k_{2}}\cdot (x^{3})^{k_{3}}=\sum\limits_{k_{1}+k_{2}+k_{3}=7}\frac{7!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}\cdot x^{2k_{2}}\cdot x^{3k_{3}} \)

Чтобы найти коэффициент при \(  \large x^{11} \) в данном разложении, нужно найти все тройки \(  \large (k_{1},k_{2},k_{3}) \), которые дают \(  \large x^{11} \). Для этого в целых неотрицательных числах решаем следующую систему уравнений:
\(  \large \large \begin{cases} k_{1}+k_{2}+k_{3}=7 \\ 2k_{1}+3k_{3}=11 \end{cases} \)

Получим:
\(  \large \large \begin{cases} k_{2}=10-3k_{1} \\ k_{3}=2k_{1}-3 \end{cases} \)

При \(  \large k_{1}=2,  k_{1}=3 \) получаем два неотрицательных решения: \(  \large (2,4,1), (3,1,3) \).

Тогда коэффициент при \(  \large x^{11} \) в разложении равен: \(  \large \frac{7!}{2!\cdot 4!\cdot 1!}+\frac{7!}{3!\cdot 1!\cdot 3!}=245 \).
 
Сказали спасибо: Admin