Автор Тема: Найти коэффициент в полиномиальном (биномиальном) разложении  (Прочитано 3390 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Sadler42

  • Пользователь
  • Сообщений: 49
    • Просмотр профиля
Найти коэффициент в полиномиальном разложении \(  \large (1+x^2+x^3)^7  \) при \(  \large x^{11}  \).
 

Помечен как лучший ответ пользователем Admin Апрель 17, 2019, 03:19:41 pm

Оффлайн phobos

  • Модератор
  • Сообщений: 95
  • Поблагодарили: 85 раз(а)
    • Просмотр профиля
В соответствии с формулой полиномиального разложения:

\(  \large (1+x^{2}+x^{3})^{7}=\sum\limits_{k_{1}+k_{2}+k_{3}=7}\frac{7!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}\cdot 1^{k_{1}}\cdot (x^{2})^{k_{2}}\cdot (x^{3})^{k_{3}}=\sum\limits_{k_{1}+k_{2}+k_{3}=7}\frac{7!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}\cdot x^{2k_{2}}\cdot x^{3k_{3}} \)

Чтобы найти коэффициент при \(  \large x^{11} \) в данном разложении, нужно найти все тройки \(  \large (k_{1},k_{2},k_{3}) \), которые дают \(  \large x^{11} \). Для этого в целых неотрицательных числах решаем следующую систему уравнений:
\(  \large \large \begin{cases} k_{1}+k_{2}+k_{3}=7 \\ 2k_{1}+3k_{3}=11 \end{cases} \)

Получим:
\(  \large \large \begin{cases} k_{2}=10-3k_{1} \\ k_{3}=2k_{1}-3 \end{cases} \)

При \(  \large k_{1}=2,  k_{1}=3 \) получаем два неотрицательных решения: \(  \large (2,4,1), (3,1,3) \).

Тогда коэффициент при \(  \large x^{11} \) в разложении равен: \(  \large \frac{7!}{2!\cdot 4!\cdot 1!}+\frac{7!}{3!\cdot 1!\cdot 3!}=245 \).
 
Сказали спасибо: Admin

Оффлайн Egorenot

  • Пользователь
  • Сообщений: 21
    • Просмотр профиля
Найти член биномиального разложения \(  \large \left( \sqrt{a} + \sqrt[4]{a} \right)^{20}  \), содержащий \(  \large a^7  \).
 

Оффлайн phobos

  • Модератор
  • Сообщений: 95
  • Поблагодарили: 85 раз(а)
    • Просмотр профиля
В соответствии с формулой бинома Ньютона \(  \large {\left(\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}\right)}^{20}={\sum^{20}_{k=0}{C^k_{20}\cdot {\left(\sqrt{a}\right)}^{20-k}\cdot \left(\sqrt[4]{a}\right)}}^k={\sum^{20}_{k=0}{C^k_{20}\cdot a^{{{20-k}\over {2}}}\cdot a}}^{{{k}\over {4}}}={\sum^{20}_{k=0}{C^k_{20}\cdot }a}^{{{40-k}\over {4}}}  \). Тогда \(  \large {{40-k}\over {4}}=7\leftrightarrow k=12  \), то есть член бинома, содержащий \(  \large a^7  \), будет равен \(  \large T_{12}=C^{12}_{20}a^7={{20!}\over {12!\cdot 8!}}a^7=125970a^7  \).
 
Сказали спасибо: Admin