Автор Тема: Дифференциальное уравнение первого порядка  (Прочитано 282 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Bad_math

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, решить диффур: \( ydx+(4 \ln y - 2x - y) dy=0 \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4910
  • Поблагодарили: 1565 раз(а)
    • Просмотр профиля
Дифференциальное уравнение первого порядка
« Ответ #1 : Сентябрь 11, 2015, 08:59:19 pm »
Cразу можно заметить, что \( \large y=0 \) - решение данного дифференциального уравнения. Разделим обе его части на \( \large ydx \): \( \large \frac{dx}{dy}-2\frac{x}{y}=1 - 4 \frac{\ln y}{y} \). Внимательно присмотревшись к полученному уравнению, можно заметить, что оно является линейным (здесь \( \large x = \varphi(y) \)). Будем решать его методом Лагранжа. Для этого сначала проинтегрируем уравнение \( \large \frac{dx}{dy}-2 \frac{x}{y}=0 \): \( \large \ln|x|=2 \ln|y|+C_1 \) \( \large \Rightarrow \) \( \large \ln|x|=\ln y^2 + \ln e^{C_1} \) \( \large \Rightarrow \) \( \large x=Cy^2 \), где \( \large C=e^{C_1} \). Следовательно, общее решение исходного уравнения будем искать в виде \( \large x=y^2 C(y) \). Так как, \( \large x'=2yC(y)+y^2C'(y) \), то \( \large \frac{dx}{dy}-2\frac{x}{y}=1 - 4 \frac{\ln y}{y} \) \( \large \Rightarrow \) \( \large y^2C'(y)=1-4\frac{\ln y}{y} \) \( \large \Rightarrow \) \( \large \frac{dC(y)}{dy}=\frac{1}{y^2} - 4 \frac{\ln y}{y^3} \) \( \large \Rightarrow \) \( \large C(y)=\int \frac{dy}{y^2}- 4 \int \frac{\ln y}{y^3}dy=C-\frac{1}{y}+2 \frac{\ln y}{y^2}+\frac{1}{y^2} \) (при вычислении интеграла \( \large \int \frac{\ln y}{y^3}dy \) использовали интегрирование по частям). Итак, \( \large x=y^2C(y)=Cy^2-y+ \ln y^2+1 \).
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Bad_math

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Дифференциальное уравнение первого порядка
« Ответ #2 : Сентябрь 11, 2015, 09:46:58 pm »
Admin, спасибо. Сам бы я не догадался...