Автор Тема: Замечательные пределы и следствия из них  (Прочитано 1168 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
1) \( \Large \lim\limits_{ x \to 0}{\frac{\sin x }{x}}=1 \) (первый замечательный предел);

2) \(  \Large \lim\limits_{ x \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x}=e \) (второй замечательный предел);

3) \(  \Large \lim\limits_{ x \to 0}{\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}}=1 \);

4) \(  \Large \lim\limits_{ x \to 0}{\frac{\textrm{tg} \ x}{x}}=1 \);

5) \(  \Large \lim\limits_{ x \to 0}{\frac{\arcsin x}{x}}=1 \);

6) \(  \Large \lim\limits_{ x \to 0}{\frac{\textrm{arctg} \ x}{x}}=1 \);

7) \(  \Large \lim\limits_{ x \to 0}{\frac{\ln (1+x)}{x}}=1 \);

8) \(  \Large \lim\limits_{ x \to 0}{\frac{e^x-1}{x}}=1 \);

9) \(  \Large \lim\limits_{ x \to 0}{\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\frac{x}{n}}}=1 \).

Примеры

1. Вычислим предел:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1 - \cos 2x} \).

Используя известное тригонометрическое тождество \(  \large 1-\cos 2x=2 \sin^2 x \) и первый замечательный предел \(  \large \lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \), получим:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1- \cos 2x}= \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{2 \sin^2 x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{x }{\sin x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1 \).

2. Найдём предел:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \left( 1+ x \right)^{\frac{3}{x}} \).

Используем второй замечательный предел:

\(  \Large \lim\limits_{ x \to 0}(1+x)^{\frac{3}{x}}= \left( \lim\limits_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} \right)^3=e^3 \).

3. Найдём значение предела функции:

\(  \large \lim\limits_{x \to 0} (1 + \sin^3 2x)^{\frac{1}{x^3}} \).

Используя второй и первый замечательные пределы, имеем:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} (1 + \sin^3 2x)^{\frac{1}{x^3}}=\lim\limits_{x \to 0} (1 + \sin^3 2x)^{\frac{\sin^3 2x}{x^3} \cdot \frac{1}{\sin^3 2x}}=e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{8 \sin^3 2x}{(2x)^3}}=e^8 \).

4. Найдём предел:

\(  \Large \lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{2x^2+4}{2x^2-4} \right)^{x^3} \).

Так как

\(  \Large \frac{2x^2+4}{2x^2-4}=\frac{x^2-2+4}{x^2-2}=1+\frac{1}{\frac{x^2-2}{4}} \),

то

\(  \Large \lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{2x^2+4}{2x^2-4} \right)^{x^3}=\lim\limits_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{\frac{x^2-2}{4}}\right)^{\frac{x^2-2}{4} \cdot \frac{4x^3}{x^2-2}}=e^{\lim\limits_{x \to \infty} \frac{4x^3}{x^2-2}}=\infty \).

5. Вычислим, чему равен предел функции:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{arcsin} (-3x) - e^{\textrm{tg} (5x)}+1}{\sqrt{1- \cos^2 (-5x)}} \).

Имеем:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{arcsin} (-3x) - e^{\textrm{tg} (5x)}+1}{\sqrt{1- \cos^2 (-5x)}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{arcsin} (-3x)}{\sqrt{2} \sin \frac{5x}{2}}- \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{\textrm{tg} (5x)}-1}{\sqrt{2} \sin \frac{5x}{2}}=  \)

\(  \Large  \lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{arcsin} (-3x)}{-3x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{-3x \cdot \frac{5x}{2}}{\sqrt{2} \cdot \frac{5x}{2} \cdot \sin \frac{5x}{2}}- \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{\textrm{tg}(5x)}-1}{\textrm{tg}(5x)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{tg}(5x)}{\sqrt{2} \cdot \sin \frac{5x}{2}} = \)

\(  \Large -\frac{3 \sqrt{2}}{5} \cdot  \lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{arcsin} (-3x)}{-3x} \cdot  \frac{1}{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}}} - \sqrt{2} \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{\textrm{tg}(5x)}-1}{\textrm{tg}(5x)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{tg} (5x)}{5x} \cdot \frac{1}{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}}}  \)

Осталось применить замечательные пределы и следствия из них.

6. Найдём предельное значение функции в точке:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \left( 1+ \textrm{tg}^2  \sqrt{x} \right)^{\frac{1}{2x}}  \).

Так как \(  \large \lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e \) (второй замечательный предел) и \(  \large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{tg} x}{x}=1 \) (следствие из первого замечательного предела), то

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} (1 + \textrm{tg}^2 \sqrt{x})^{\frac{1}{2x}}=\lim\limits_{x \to 0} (1 + \textrm{tg}^2 \sqrt{x})^{ \frac{1}{\textrm{tg}^2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\textrm{tg}^2 \sqrt{x}}{ (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2}} =e^{ \lim\limits_{x \to 0}  \frac{\textrm{tg}^2 \sqrt{x}}{ (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e} \).

7. Вычислим предел:

\(  \large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2 \sin x}{\cos 2x - \cos x}  \).

Воспользуемся основными тождествами тригонометрии. Имеем:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2 \sin x}{\cos 2x - \cos x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin x \cos x - 2 \sin x}{-2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}} =\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin x \cos x}{\sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}}= \)

\(  \Large =\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x ( 1 - \cos x)}{\sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}} = 2 \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x \sin^2 \left(  \frac{x}{2} \right) }{\sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}}=2 \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x \sin   \frac{x}{2}  }{\sin \frac{3x}{2} }=  \)

\(  \Large =2 \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x \sin   \frac{x}{2}  }{3 \sin \frac{x}{2} - 4 \sin^3 \left( \frac{x}{2} \right) }=2 \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x   }{3  - 4 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) }=2 \cdot \frac{0}{3-4 \cdot 0}=0 \).