Автор Тема: Предел функции - 4  (Прочитано 238 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Константин

  • Пользователь
  • Сообщений: 156
    • Просмотр профиля
Предел функции - 4
« : Ноябрь 04, 2015, 05:45:57 pm »
Вычислить предел функции: \(  \Large \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{(x+1)^2} -  \sqrt[3]{(x-1)^2} \right)  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4945
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Предел функции - 4
« Ответ #1 : Ноябрь 04, 2015, 07:53:08 pm »
Так как \(  \large (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \), умножив и разделив функцию, предел которой нужно вычислить, на сопряжённое выражение, получим:

\(  \Large \lim\limits_{x \to \infty} \left(  \sqrt[3]{(x+1)^2} - \sqrt[3]{(x-1)^2}\right)=[ \infty - \infty]=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{\sqrt[3]{(x+1)^4} + \sqrt[3]{(x^2-1)^2} + \sqrt[3]{(x-1)^4}}= \)

\(  \Large =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt[3]{(x+1)^4} + \sqrt[3]{(x^2-1)^2} + \sqrt[3]{(x-1)^4}}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt[3]{x^4+4x^3+6x^2+4x+1} + \sqrt[3]{x^4-2x^2+1} + \sqrt[3]{x^4-4x^3+6x^2-4x+1}}= \)

\(  \Large =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{1+\frac{4}{x}+\frac{6}{x^2}+\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^4}} + \sqrt[3]{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}} + \sqrt[3]{1-\frac{4}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^4}}}=\frac{0}{1+1+1}=0 \).