Автор Тема: Предел функции  (Прочитано 158 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Константин

  • Пользователь
  • Сообщений: 156
    • Просмотр профиля
Предел функции
« : Ноябрь 04, 2015, 04:48:12 pm »
Вычислить предел: \(  \large \lim\limits_{y \to a} \left( \sin \frac{y-a}{2} \cdot \textrm{tg} \frac{\pi y}{2a} \right)  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Предел функции
« Ответ #1 : Ноябрь 04, 2015, 05:14:06 pm »
Так как \(  \large \lim\limits_{y \to a} \left( \sin \frac{y-a}{2} \cdot \textrm{tg} \frac{\pi y}{2a} \right)=\left[ \frac{0}{0} \right]=L  \), положим \(  \large x=y-a \). Тогда \(  \large y=x+a \) и \(  \large x \to 0 \) при \(  \large y \to a \). Следовательно, \(  \Large L=\lim\limits_{x \to 0} \left( \sin \frac{x}{2} \cdot \textrm{tg} \left( \frac{pi}{2} + \frac{\pi x}{2a} \right) \right)=-\lim\limits_{x \to 0} \left( \sin \frac{x}{2} \cdot \textrm{ctg} \frac{\pi x}{2a} \right)= \) \(  \Large =-\lim\limits_{x \to 0} \left( \sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\textrm{tg} \frac{\pi x}{2a}} \right)= - \frac{a}{\pi} \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}  \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{\pi x}{2a}}{ \textrm{tg} \frac{\pi x}{2a}}= - \frac{a}{\pi} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1}=-\frac{a}{\pi} \).