Автор Тема: Предел функции с иррациональностями  (Прочитано 210 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Наталья

  • Пользователь
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
Предел функции с иррациональностями
« : Ноябрь 04, 2015, 02:22:30 pm »
Помогите решить! Нужно вычислить предел функции.

\(  \Large \lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1+x} - \sqrt{2x}}  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Предел функции с иррациональностями
« Ответ #1 : Ноябрь 07, 2015, 07:42:59 pm »
Первый способ

Так как предел есть неопределённость вида \(  \large \left[ \frac{0}{0} \right] \), умножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела, на выражение, сопряжённое знаменателю:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1+x} - \sqrt{2x}}=   \lim\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{1+x} + \sqrt{2x})}{(\sqrt{1+x} - \sqrt{2x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{2x})}=\lim\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{1+x} + \sqrt{2x})}{1-x}  \).

Снова получили ту же самую неопределённость. Чтобы раскрыть её, разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов, а затем сократим дробь, стоящую под знаком предела:

\(  \Large\lim\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{1+x} + \sqrt{2x})}{1-x}=- \lim\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{1+x} + \sqrt{2x})}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}+1)}=- \lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{2x}}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}+1}=-\frac{\sqrt{2}+ \sqrt{2}}{1+1+1}=-\frac{2 \sqrt{2}}{3} \).

Второй способ

Используем правило Лопиталя-Бернулли:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1+x} - \sqrt{2x}}= \left[ \frac{0}{0} \right]=\lim\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)'}{(\sqrt{1+x} - \sqrt{2x})'}=\lim\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}}{\frac{1}{2 \sqrt{1+x}} - \frac{2}{2 \sqrt{2x}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{2}{2 \sqrt{2}}}=-\frac{2 \sqrt{2}}{3} \).