Автор Тема: Предел функции с логарифмом  (Прочитано 196 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Уйсембаева Молдир

  • Пользователь
  • Сообщений: 108
    • Просмотр профиля
Предел функции с логарифмом
« : Ноябрь 03, 2015, 09:57:39 pm »
Решите, пожалуйста, с объяснением.

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \textrm{tg} 3x)}{\sqrt{1-4x}-1}  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Предел функции с логарифмом
« Ответ #1 : Ноябрь 04, 2015, 07:05:48 pm »
Первый способ

Умножив и разделив функцию, стоящую под знаком предела, на сопряжённое знаменателю выражение, получим:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \textrm{tg} 3x)}{\sqrt{1-4x}-1}=\left[ \frac{0}{0} \right]= \lim\limits_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+4x}+1)\ln(1 + \textrm{tg} 3x)}{(\sqrt{1-4x})^2-1^2}=\lim\limits_{x \to 0} ( \sqrt{1+4x}+1) \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln( 1 + \textrm{tg} 3x)}{-4x}= \)

\(  \Large =2 \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln( 1 + \textrm{tg} 3x)}{\textrm{tg} 3x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\textrm{tg} 3x}{3x \cdot \left( - \frac{4}{3} \right)}= 2 \cdot  1 \cdot 1 \cdot \left( -\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{2} \).

Второй способ

Используя теорему Лопиталя-Бернулли, имеем:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \textrm{tg} 3x )}{\sqrt{1-4x}-1}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(\ln (1 + \textrm{tg} 3x ))'}{(\sqrt{1-4x}-1)'}= \lim\limits_{x \to 0 } \left( \frac{\frac{3}{\cos^2 3x}}{1+ \textrm{tg} 3x} \cdot \frac{2 \sqrt{1-4x}}{-4} \right)=\frac{3}{1} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)= - \frac{3}{2} \).