Автор Тема: Предел функции  (Прочитано 185 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Уйсембаева Молдир

  • Пользователь
  • Сообщений: 108
    • Просмотр профиля
Предел функции
« : Ноябрь 03, 2015, 09:54:10 pm »
Решите, пожалуйста, с объяснением. Найти предел функции:

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Предел функции
« Ответ #1 : Ноябрь 06, 2015, 01:10:28 pm »
Так как \(  \large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \) (первый замечательный предел) и \(  \large \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 \) (следствие из второго замечательного предела), то

\(  \Large \lim\limits_{x \to 0 } \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}  \left( \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} -(-1) \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{-x}-1}{-x} \right) = 1 \cdot (1+1)=2 \).

Те, кто уже изучал дифференциальное исчисление, сразу могут использовать правило Лопиталя-Бернулли:

\(  \large \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x- e^{-x}}{\sin x}= \lim\limits_{x \to 0} \frac{(e^x-e^{-x})'}{(\sin x)'}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}+e^{-x}}{\cos x}=\frac{1+1}{1}=2 \).