Автор Тема: Пирамида  (Прочитано 972 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Константин

  • Пользователь
  • Сообщений: 156
    • Просмотр профиля
Пирамида
« : Ноябрь 02, 2015, 09:02:59 am »
По четырём заданным точкам \(  \large A_1 \ (6,3,5), \ A_2 \ (5,-4,3), \ A_3 \ (3,5,6), \ A_4 \ (-6,-1,2) \) построить пирамиду и средствами векторной алгебры и аналитической геометрии найти:
1) длину ребра \(  \large A_2A_3 \);
2) угол между рёбрами \(  \large A_1A_2 \) и \(  \large A_1A_4 \);
3) площадь грани \(  \large A_1A_2A_3 \);
4) объём пирамиды \(  \large A_1A_2A_3A_4 \);
5) уравнение прямой, проходящей через точку \(  \large A_1 \) параллельно прямой \(  \large A_2A_3 \);
6) уравнение плоскости, проходящей:
а) через прямую \(  \large A_2A_3 \) и точку \(  \large A_1 \);
б) через точку \(  \large A_1 \) перпендикулярно прямой \(  \large A_2A_3 \);
в) через точки \(  \large A_2, \ A_3, \ A_4 \);
7) угол между прямыми \(  \large A_1A_2 \) и \(  \large A_2A_4 \);
8) угол между плоскостями \(  \large A_1A_2A_3 \) и \(  \large A_2A_3A_4 \);
9) расстояние от точки \(  \large A_1 \)  до плоскости \(  \large A_2A_3A_4 \).
Помогите, пожалуйста.

 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Пирамида
« Ответ #1 : Ноябрь 02, 2015, 12:47:36 pm »
1) Чтобы найти длину ребра \(  \large A_1A_2 \), используем формулу для расстояния между двумя точками:

\(  \large |A_1A_2|=\sqrt{(5-6)^2+(-4-3)^2+(3-5)^2}=\sqrt{1+49+4}=3 \sqrt{6} \).

2) Найдём координаты векторов \(  \large \overline{A_1A_2} \) и \(  \large \overline{A_1A_4} \):

\(  \large \overline{A_1A_2}=(5-6,-4-3,3-5)=(-1,-7,-2) \), \(  \large \overline{A_1A_4}=(-6-6,-1-3,2-5)=(-12,-4,-3) \).

Вычислим косинус угла между данными векторами:

\(  \large \cos \varphi=\frac{(-1) \cdot (-12) + (-7) \cdot (-4)+(-2) \cdot (-3)}{\sqrt{1+49+4} \cdot \sqrt{144 + 16 +9}}=\frac{12+28+6}{\sqrt{54 \cdot 169}}=\frac{46}{39 \sqrt{6}}  \).

Следовательно, \(  \large \varphi= \textrm{arccos} \frac{46}{39 \sqrt{6}} \).

3) Найдём координаты вектора \(  \large \overline{A_2A_3} \):

\(  \large \overline{A_2A_3}=(3-5,5+4,6-3)=(-2,9,3) \).

Вычислим векторное произведение векторов \(  \large \overline{A_1A_2} \) и \(  \large \overline{A_2A_3} \):

\(  \large \overline{A_1A_2} \times \overline{A_2A_3}= \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -1 & -7 & -2 \\ -2 & 9 & 3 \end{vmatrix}=-3 \overline{i}+7 \overline{j}-23 \overline{k}=(-3,7,-23) \).

Найдём площадь треугольника, построенного на векторах \(  \large \overline{A_1A_2} \) и \(  \large \overline{A_2A_3} \):

\(  \large S_{A_1A_2A_3}=\frac{1}{2} |\overline{A_1A_2} \times \overline{A_2A_3}|=\frac{1}{2} \sqrt{9+49+529}=\frac{\sqrt{587}}{2} \).

4) Вычислим координаты векторов \(  \large \overline{A_1A_3} \) и \(  \large \overline{A_1A_4} \):

\(  \large \overline{A_1A_3}=(3-6,5-3,6-5)=(-3,2,1) \), \(  \large \overline{A_1A_4}=(-6-6,-1-3,2-5)=(-12,-4,-3) \).

Найдём смешанное произведение векторов \(  \large \overline{A_1A_2} \), \(  \large \overline{A_1A_3} \) и \(  \large \overline{A_1A_4} \):

\(  \large \overline{A_1A_2} \cdot \overline{A_1A_3} \cdot \overline{A_1 A_4}= \begin{vmatrix} -1 & -7 & -2 \\ -3 & 2 & 1 \\ -12 & -4 & -3 \end{vmatrix}=77 \).

Вычислим объём пирамиды, построенной на этих трёх векторах:

\(  \large V_{A_1A_2A_3A_4}=\frac{1}{6} \cdot | \overline{A_1A_2} \cdot  \overline{A_1A_3} \cdot \overline{A_1 A_4} |=\frac{77}{6} \).

5) Запишем уравнение прямой, проходящей через точки \(  \large A_2 \) и \(  \large A_3 \):

\(  \Large \frac{x -x_{A_2}}{x_{A_3}-x_{A_2}}= \frac{y-y_{A_2}}{y_{A_3}-y_{A_2}}=\frac{z - z_{A_2}}{z_{A_3}-z_{A_2}} \ \Leftrightarrow \ \frac{x-5}{3-5}=\frac{y+4}{5+4}=\frac{z-3}{6-3} \).

Составим уравнение прямой, которая проходит через точку \(  \large A_1 \) параллельно прямой \(  \large A_2A_3 \):

\(  \large \frac{x-6}{-2}=\frac{y-3}{9}=\frac{z-5}{3} \).

6) а) Запишем параметрические уравнения прямой \(  \large A_2A_3 \):

\(  \large \begin{cases} x=5-2t \\ y=-4+9t \\ z=3+3t  \end{cases} \).

Найдём две точки, принадлежащие прямой \(  \large A_2A_3 \), для чего положим, например, \(  \large t=1 \) и \(  \large t=2 \):

\(  \large B_1 \ (3,5,6), \ B_2 \ (-1,14,9) \).

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки \(  \large B_1, \ B_2, \ A_1 \):

\(  \large \begin{vmatrix} x-6 & y-3 & z-5 \\ 3-6 & 5-3 & 6-5 \\ -1-6 & 14-3 & 9-5 \end{vmatrix}=0 \ \Leftrightarrow \ 3x+5y+19z-128=0  \).

б) Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку \(  \large A_1 \) перпендикулярно прямой \(  \large A_2A_3 \), зная, что направляющий вектор прямой будет нормальным вектором плоскости:

\(  \large -2(x-6)+9(y-3)+3(z-5)=0 \ \Leftrightarrow \ 2x-9y-3z+30=0 \).

в) Составим уравнение плоскости, проходящей через точки \(  \large A_2, \ A_3, \ A_4 \):

\(  \large \begin{vmatrix} x-5 & y+4 & z-3 \\ 3-5 & 5+4 & 6-3 \\ -6-5 & -1+4 & 2-3 \end{vmatrix}=0 \ \Leftrightarrow \ 18x+35y-93z+329=0 \).

7) Запишем уравнения прямых \(  \large A_1A_2 \) и \(  \large A_2A_4 \):

\(  \large \frac{x-6}{5-6}=\frac{y-3}{-4-3}=\frac{z-5}{3-5} \ \Leftrightarrow \ \frac{x-6}{-1}=\frac{y-3}{-7}=\frac{z-5}{-2} \),

\(  \large \frac{x-5}{-6-5}=\frac{y+4}{-1+4}=\frac{z-3}{2-3} \ \Leftrightarrow \ \frac{x-5}{-11}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-3}{-1} \).

Найдём косинус (острого) угла между направляющими векторами прямых (а значит, и косинус угла между прямыми):

\(  \large \cos \alpha = \frac{|(-1) \cdot(-11) + (-7) \cdot 3 + (-2) \cdot (-1)|}{\sqrt{1+49+4} \cdot \sqrt{121+9+1}}=\frac{8}{3 \sqrt{786} } \).

Значит, \(  \large \alpha = \textrm{arccos} \frac{8}{3 \sqrt{786}} \).

8) Составим уравнение плоскости, проходящей через точки \(  \large A_1, \ A_2, \ A_3 \):

\(  \large \begin{vmatrix} x-6 & y-3 & z-5 \\ 5-6 & -4-3 & 3-5 \\ 3-6 & 5-3 & 6-5 \end{vmatrix}=0 \ \Leftrightarrow \ 3x-7y+23z+118=0 \).

Найдём косинус (острого) угла между нормальными векторами плоскостей \(  \large A_1A_2A_3 \) и \(  \large A_2A_3A_4 \) (а следовательно, и угол между самими плоскостями):

\(  \large \cos \beta = \frac{| 3 \cdot 18 + -7 \cdot 35 +23 \cdot (-93)|}{\sqrt{9+49+529} \cdot \sqrt{324+1225+8649}} \).

9) Известно, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Объём пирамиды был найден выше. Таким образом, для нахождения расстояния от точки \(  \large A_1 \) до плоскости \(  \large A_2A_3A_4 \) (одной из высот пирамиды), достаточно найти площадь треугольника \(  \large A_2A_3A_4 \) и разделить утроенный объём пирамиды на эту площадь.

Итак, найдём координаты вектора \(  \large \overline{A_2A_4} \):

\(  \large \overline{A_2A_4}=(-6-5,-1+4,2-3)=(-11,3,-1) \).

Вычислим векторное произведение векторов \(  \large \overline{A_2A_3} \) и \(  \large \overline{A_2A_4} \):

\(  \large \overline{A_2A_3} \times \overline{A_2A_4} = \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 9 & 3 \\  -11 & 3 & -1 \end{vmatrix}=(-18,-35,-93) \).

Найдём площадь треугольника, построенного на этих векторах:

\(  \large S_{A_2A_3A_4}= \frac{1}{2} |\overline{A_2A_3} \times \overline{A_2A_4}|=\frac{1}{2} \sqrt{324+1225+8649}=\frac{\sqrt{10198}}{2} \).

Следовательно, \(  \Large h=\frac{77}{\sqrt{10198}} \).