Автор Тема: Вычислить предел тригонометрической функции  (Прочитано 214 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Уйсембаева Молдир

  • Пользователь
  • Сообщений: 108
    • Просмотр профиля
Пожалуйста, помогите.

\(  \Large \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos 2x} \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Вычислить предел тригонометрической функции
« Ответ #1 : Ноябрь 01, 2015, 10:27:07 pm »
Первый способ.

Так как \(  \large \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos 2x}=\left[ \frac{0}{0}  \right]=L \), положим \(  \large y=x- \frac{\pi}{4} \). Тогда \(  \large x=y+ \frac{\pi}{4} \), \(  \large y \to 0 \) при \(  \large x \to \frac{\pi}{4} \). Следовательно, \(  \large L=\lim\limits_{y \to 0} \frac{\cos \left( y+ \frac{\pi}{4} \right) - \sin  \left( y+ \frac{\pi}{4} \right)}{\cos  \left( 2y+ \frac{\pi}{2} \right)}= \) \(  \large \lim\limits_{y \to 0} \frac{-\sqrt{2} \sin y}{- \sin 2y}=\frac{\sqrt{2}}{2} \lim\limits_{ y \to 0} \frac{1}{\cos y}= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Второй способ.

Используем правило Лопиталя-Бернулли: \(  \large L=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x - \sin x)'}{( \cos 2x)'}=  \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sin x- \cos x}{-2 \sin 2x}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 }= \frac{\sqrt{2}}{2} \).