Первый способ.
Так как \( \large \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos 2x}=\left[ \frac{0}{0} \right]=L \), положим \( \large y=x- \frac{\pi}{4} \). Тогда \( \large x=y+ \frac{\pi}{4} \), \( \large y \to 0 \) при \( \large x \to \frac{\pi}{4} \). Следовательно, \( \large L=\lim\limits_{y \to 0} \frac{\cos \left( y+ \frac{\pi}{4} \right) - \sin \left( y+ \frac{\pi}{4} \right)}{\cos \left( 2y+ \frac{\pi}{2} \right)}= \) \( \large \lim\limits_{y \to 0} \frac{-\sqrt{2} \sin y}{- \sin 2y}=\frac{\sqrt{2}}{2} \lim\limits_{ y \to 0} \frac{1}{\cos y}= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Второй способ.
Используем правило Лопиталя-Бернулли: \( \large L=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x - \sin x)'}{( \cos 2x)'}= \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sin x- \cos x}{-2 \sin 2x}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 }= \frac{\sqrt{2}}{2} \).
