Автор Тема: Линейное неоднородное дифференциальное уравнение  (Прочитано 146 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Елена

  • Пользователь
  • Сообщений: 50
    • Просмотр профиля
Линейное неоднородное ДУ: \(  \large y'''+4y'= \sin4x \). Помогите, пожалуйста.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

1) Найдём общее решение однородного уравнения \(  \large y'''+4y'=0 \). Составим и решим характеристическое уравнение: \(  \large k^3+4k=0 \ \Leftrightarrow \ k_1=0, \ k_{2,3}= \pm 2 i \). Значит, \(  \large y=C_1+C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x  \) - общее решение однородного уравнения.

2) Найдём частное решение неоднородного уравнения. Так как  правая часть уравнения имеет вид \(  \large \sin 4x \) и числа \(  \large 4i \) не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения надлежит искать в виде \(  \large y= a \sin 4x + b \cos 4x \). Тогда \(  \large y'=4a \cos 4x - 4b \sin 4x \), \(  \large y''=-16a \sin 4x -16 b \cos 4x \), \(  \large y'''=-64a \cos 4x + 64 b \sin 4x \). Следовательно, \(  \large y'''+4y'=\sin 4x \ \Leftrightarrow \ -48 a \cos 4x + 48 b \sin 4x= 0 \cdot \cos 4x + \sin 4x \). Отсюда находим: \(  \large a=0, \ b=\frac{1}{48} \). Значит, \(  \large y=\frac{1}{48} \cos 4x \) - частное решение неоднородного уравнения.

Запишем общее решение неоднородного уравнения: \(  \large y=C_1+C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x +\frac{1}{48} \cos 4x \).
 
Сказали спасибо: Alexey