Автор Тема: ЛНДУ второго порядка  (Прочитано 225 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Елена

  • Пользователь
  • Сообщений: 50
    • Просмотр профиля
ЛНДУ второго порядка
« : Октябрь 24, 2015, 06:14:27 pm »
Решить диффур, заранее спасибо

\(  \large y''+2y'+2y=3x+5 \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
ЛНДУ второго порядка
« Ответ #1 : Октябрь 24, 2015, 08:50:56 pm »
1) Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения: \(  \large y''+2y'+2y=0 \). Cоставим и решим характеристическое уравнение: \(  \large k^2+2k+2=0 \ \Leftrightarrow \ k_{1,2}=-1 \pm i \). Значит, \(  \large y=C_1 e^{-x} \cos x + C_2 e^{-x} \sin x \) - общее решение однородного уравнения.

2) Общее решение неоднородно уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдём методом подбора. Так как правая часть неоднородного уравнения имеет вид \(  \large P(x)=3x+5 \) и нуль не является решением характеристического уравнения, то частное решение надлежит искать в виде \(  \large Q(x)=ax+b \). Подставим в неоднородное уравнение \(  \large Q''(x), Q'(x), Q(x) \) вместо \(  \large y'',y',y \) соответственно и найдём коэффициенты \(  \large a,b \). Имеем: \(  \large 0+2a+2(ax+b)=3x+5 \ \Leftrightarrow \ 2ax+(2a+2b)=3x+5 \). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в правой и левой частях равенства, получим систему уравнений: \(  \large \begin{cases} 2a=3 \\ 2a+2b=5 \end{cases} \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{3}{2} \\ b=1 \end{cases} \). Значит, \(  \large Q(x)=\frac{3}{2}x+1 \) - частное решение неоднородного уравнения.
Итак, \(  \large y=C_1e^{-x} \cos x + C_2 e^{-x} \sin x +\frac{3}{2}x+1  \) - общее решение уравнения \(  \large y''+2y'+2y=3x+5 \).

 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Елена

  • Пользователь
  • Сообщений: 50
    • Просмотр профиля
ЛНДУ второго порядка
« Ответ #2 : Октябрь 30, 2015, 09:22:56 pm »
спасибо ;)