Автор Тема: Вычислить предел функции  (Прочитано 161 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн sinnpro

  • Пользователь
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
Вычислить предел функции
« : Октябрь 22, 2015, 08:58:17 pm »
Решите, пожалуйста, предел: \(  \Large \lim\limits_{x \to \pi} \frac{1 - \sin \frac{x}{2}}{\pi -x} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4901
  • Поблагодарили: 1564 раз(а)
    • Просмотр профиля
Вычислить предел функции
« Ответ #1 : Октябрь 22, 2015, 09:16:16 pm »
Так как \(  \Large \lim\limits_{x \to \pi} \frac{1 - \sin \frac{x}{2}}{ \pi - x}=\left[ \frac{0}{0} \right]=L  \), сделаем подстановку \(  \Large y=x-\pi \). Тогда \(  \Large x=y+ \pi \) и \(  \Large y \to 0 \) при \(  \Large x \to \pi \). Следовательно, \(  \Large L=-\lim\limits_{y \to 0} \frac{1-\sin \left(  \frac{\pi}{2}+\frac{y}{2} \right) }{y}=-\lim\limits_{y \to 0} \frac{1- \cos \frac{y}{2}}{y}=-2\lim\limits_{y \to 0} \frac{y}{16}\frac{\sin^2 \frac{y}{4}}{\frac{y^2}{16}}=0 \).

Проверка с помощью правила Лопиталя: \(  \Large L=\lim\limits_{x \to \pi} \frac{\left( 1 - \sin \frac{x}{2} \right)'}{(\pi -x)'}=\lim\limits_{x \to \pi} \frac{-\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}}{-1}=\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2}=0 \).