Автор Тема: Ряды  (Прочитано 268 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн flex

  • Пользователь
  • Сообщений: 7
    • Просмотр профиля
Ряды
« : Октябрь 19, 2015, 07:56:50 pm »
Найти область сходимости функционального ряда \(  \Large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 9^n} \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4946
  • Поблагодарили: 1571 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Ряды
« Ответ #1 : Октябрь 19, 2015, 09:08:49 pm »
Исследуем с помощью признака Даламбера ряд, состоящий из абсолютных величин членов ряда \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 9^n} \). Имеем: \(  \Large \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{(x-1)^{n+1} \cdot n \cdot 9^n}{(x-1)^n \cdot (n+1) \cdot 9^{n+1}} \right|=\frac{1}{9}|x-1|\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=\frac{1}{9}|x-1|<1  \). Итак, ряд сходится на интервале \(  \large x \in (-8,10) \).

Исследуем сходимость ряда в предельных точках.
Пусть \(  \large x=-8 \), тогда \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 9^n} =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \). Гармонический ряд расходится, следовательно, ряд \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}  \) не является абсолютно сходящимся. Так как \(  \large a_n>a_{n+1} \) и \(  \large \lim\limits_{n \to \infty}a_n=0 \) для ряда \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \), то он сходится (условно) по теореме Лейбница.

Пусть \(  \large x=10 \), тогда \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 9^n} =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \). Гармонический ряд расходится.
Итак, ряд \(  \large \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 9^n} \) сходится при \(  \large x \in [-8,10) \).