Уравнение

[Байт]

x^y = y^x
Для определенности и чтобы не вступать в ненужные споры, считаем x>0, y>0
Очевидное решение: x = y. Есть еще одно: x =2, y = 4 (и наоборот)
Я пошел таким путем. Прологарифмировал, разделил переменные, получил ln x/x = ln y/y
Проинтегрировал. ln²x - ln²y = C. Если положить C = 0, получаем
ln x/y * ln (xy) = 0. Отсюда x = y (то самое тривиальное решение) или y = 1/x.
Проверяем. x^1/x = (1/x)^x Подставляем x = 2. 1/4 = sqrt(2) - Чушь!
В чем дело?
Арифметические выкладки на 99 % верны. Проверял много раз.

[ARRY]

Проинтегрировал.

Байт
А почему это Вы проинтегрировали обе части уравнения. Разве Вы пришли к равносильному уравнению? Разумеется, что нет.
Кстати, это уравнение описывалось в книгах. Вот то, что обнаружил у себя:
1. Гальперин, Толпыго "Московские математические олимпиады", 1986
2. Шклярский, Ченцов, Яглом "Решение уравнений в целых числах", 1976. Задача 168 - это Ваша.
P.S. Да, и можете взглянуть сюда.

[Байт]

А почему это Вы проинтегрировали обе части уравнения. Разве Вы пришли к равносильному уравнению? Разумеется, что нет.

Меня тоже смутил этот момент. Но потом я стал рассуждать так. Пусть F(x) - G(x) = C. Тогда F'(x) = G'(x)... Тут же нет ошибки?  Хотя... Пока писал - подумал. Переменные-то разные...

[Байт]

ARRY, за ссылочку спасибо. Попасть в  такую компанию  - большая честь!

[ARRY]

Пусть F(x) - G(x) = C. Тогда F'(x) = G'(x)... Тут же нет ошибки?

Байт
Есть, и ещё какая!
Можно дифференцировать функции по переменным, но, разумеется, ни в коем случае нельзя дифференцировать уравнения по постоянным. Даже пусть эти постоянные являются неизвестными величинами. Это грубейшая ошибка, известная мне ещё со студенческих времён.

Скрытый текст

Вот Вам пример (по-моему, из какой-то старой методички).
Дано квадратное уравнение \(  \displaystyle x^2-18x+81=0  \).

Дифференцируем его по \(  \displaystyle x  \). Получаем \(  \displaystyle 2x-18=0  \), откуда \(  \displaystyle x=9  \).
Проверяем, и, о чудо, это число действительно является корнем данного уравнения. Но... это роковая случайность.
Ну, смотрите сами. В общем случае продифференцируем приведённое уравнение \(  \displaystyle x^2+bx+c=0  \). Получаем \(  \displaystyle 2x+b=0  \), и \(  \displaystyle x=-\frac {b}{2}  \).

Проверяем, подставляя это значение в исходное уравнение. Левая часть принимает значение \(  \displaystyle \frac {b^2}{4}-\frac {b^2}{2}+c=c-\frac {b^2}{4}  \).
Отсюда видно, что \(  \displaystyle x=-\frac {b}{2}  \) не является корнем уравнения.

[свернуть]

[Байт]

Можно дифференцировать функции по переменным, но, разумеется, ни в коем случае нельзя дифференцировать уравнения по постоянным.

Да нет, тут-то, имхо, все в порядке. И вывод F(x) = G(x) + C => F'_x(x) = G'_x(x)  совершенно верен.
Но моя ошибка в том, что мы имеем F(x) = G(y) + C И значит F'_x(x) = G'_y*y'_x а это уже совсем другой компот...
А ваш замечательный пример к данной проблеме имеет мало отношения...

[ARRY]

И значит F'x(x) = G'y*y'x а это уже совсем другой компот...

Байт
Да это тот же самый компот. По-моему, Вы смешали в кучу алгебраическое уравнение и функции в обеих его частях.

И вывод F(x) = G(x) + C => F'x(x) = G'x(x)  совершенно верен.

Не согласен. Эти два уравнения неэквивалентны.

[Байт]

Эти два уравнения неэквивалентны.

Не эквивалентны - согласен. Но я говорю только о следствии. Там же "=>". Стрелочки в другую сторону нет.
Если вы считаете, что следствие F(x) = G(x) + C => F'_x(x) = G'_x(x) неверно, не будете ли так добры привести пример его опровергающий (я конечно, говорю только о достаточно гладких функциях, всюду имеющих производную)

[Байт]

Ну, то что из F(x) = G(x) следует, что F'(x) = G'(x) вы, надеюсь, согласны? Ведь это одна и та же функция.
А что производная константы равна нулю, тоже возражений нет? Или есть?

[ARRY]

А что производная константы равна нулю, тоже возражений нет?

Возражений нет.
Сдаётся мне, что уйдя далеко от исходного уравнения темы, мы говорим о разных вещах. Давайте проясним.

Что Вы понимаете под равенством \(  \displaystyle F(x)=G(x)  \)?

[Байт]

Что Вы понимаете под равенством

Я думаю, тоже самое, что и вы. А как это можно еще понимать? Совпадение области определения двух функций и совпадение их значений в каждой точке из этой области.
Да нет, все уже в порядке. И новым ниспровергателем основ я, слава Богу, не стал. В посте 5 все написано.

[ARRY]

Что Вы понимаете под равенством

Я думаю, тоже самое, что и вы. А как это можно еще понимать? Совпадение области определения двух функций и совпадение их значений в каждой точке из этой области.

Ну, как я и думал. Я-то с самого начала рассматривал это равенство как уравнение относительно \(  \displaystyle x  \),которое нужно решить, т.е. отыскать значения \(  \displaystyle x  \), при которых это равенство достигается. И понятно, что о совпадении областей определения и о совпадении их значений в каждой точке речи нет.
Рад, что всё разъяснилось.