Автор Тема: Уравнения параллельных  (Прочитано 194 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 40
  • Поблагодарили: 1 раз(а)
    • Просмотр профиля
Уравнения параллельных
« : Октябрь 22, 2018, 09:34:45 pm »
Здраствуйте.
Давно я не был на вашем форуме. Но вот понадобилась помощь во вроде бы простой задаче. Приходится вспоминать аналитическую геометрию за 1-й курс.
Задача такая. На плоскости \(  \displaystyle XOY  \) дан треугольник. Стороны этого треугольника заданы уравнениями:
\(  \displaystyle 5x-2y+6=0  \)
\(  \displaystyle 4x-y+3=0  \)
\(  \displaystyle x+3y-7=0  \)
Надо написать уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противолежащей стороне.
Задача элементарная: ищем координаты попарных точек пересечения, т.е. вершин треугольника. А провести через данную точку прямую, параллельную данной - это, как говорится, как 2 пальца...
Но...вся фишка в том, что в условии жёстко оговорено: не вычисляя координат вершин треугольника. И я торможу уже третий день. Как быть?
 

Помечен как лучший ответ пользователем Борис Октябрь 23, 2018, 09:51:15 pm

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #1 : Октябрь 23, 2018, 12:45:25 am »
в условии жёстко оговорено: не вычисляя координат вершин
Я уже плюнул, выключил комп и спать пошел. Но сначала зашел в туалет. И там нашел ответ. (простите за грубую рифму, она случайна).
А вы не слышали про "пучки"? Пучки прямых на плоскости или плоскостей в пространстве.
Есть 2 прямые 5x-2y+6=0, 4x-y+3=0 Так вот, выражение A(5x-2y+6) + B(4x-y+3)=0 задает "пучок", семейство прямых, проходящих через точку их пересечения. Остается токмо подобрать A и B (сидящих на трубе), чтобы эта прямая из семейки была параллельна третьей стороне. С точностью до множителя, конечно.
Удачи!
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 40
  • Поблагодарили: 1 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #2 : Октябрь 23, 2018, 07:16:49 am »
Есть 2 прямые 5x-2y+6=0, 4x-y+3=0 Так вот, выражение A(5x-2y+6) + B(4x-y+3)=0 задает "пучок", семейство прямых, проходящих через точку их пересечения. Остается токмо подобрать A и B
Да, я слышал про пучки.
Но как мне здесь это поможет? Ведь у меня фактически одно уравнение относительно двух неизвестных А и В. И как вычислить их? Не понимаю. Может, я чего не учитываю?
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #3 : Октябрь 23, 2018, 10:56:43 am »
у меня фактически одно уравнение относительно двух неизвестных А и В. И как вычислить их?
A и B надо определять с точностью до множителя
Ведь A=3, B=7 и A=6, B=14 дают одну и ту же прямую
Перепишем уравнение пучка так
(5A+4B)x - (2A+B)y +(6A+3B) = 0
Условие параллельности прямой x + 3y - 7 = 0: (5A+4B)/1 = -(2A+B)/3 => 15A + 12B + 2A + B = 0 => 17A + 13B = 0
Одно из решений A = 13, B=-17
Искомая прямая -3x - 9y + 27 = 0 или x + 3y - 9 = 0
(Мог ошибиться в вычислениях. Арихметика - одно из моих слабых мест)
Тут важно понять, что если бы вы взяли другое решение, скажем A=-26, B=34 или A=1, B=-17/13, то пришли бы к тому же результату
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #4 : Октябрь 23, 2018, 11:50:04 am »
Борис, Хочу обратить ваше внимание, что определение каких-то параметров с точностью до множителя в Аналитической Геометрии встречается сплошь и рядом. Например, надо провести прямую через 2 точки. Один из способов - пишем общее уравнение Ax + By + C = 0 и подставляем в него координаты 2-х точек. Получаем 2 уравнения с тремя неизвестными A,B,C. Ну и что? Нам ведь надо найти одно из решений. А то, что все решения будут отличаться только общим множителем - так это вполне естественно. Все они определяют одну и ту же прямую. :)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #5 : Октябрь 23, 2018, 12:29:47 pm »
Есть 2 прямые 5x-2y+6=0, 4x-y+3=0 Так вот, выражение A(5x-2y+6) + B(4x-y+3)=0 задает "пучок", семейство прямых, проходящих через точку их пересечения.
Байт
Вы знаете, я бы немного упростил Ваше решение.
Можно задать уравнение пучка, проходящего через эту точку как \(  \displaystyle 5x-2y+6+k(4x-y+3)=0  \). Это чтобы не плодить переменные.

В Ваших обозначениях это было бы \(  \displaystyle k=\frac {B}{A}  \). Но для неопытного студента это, я думаю, понять попроще.

А дальше - как у Вас: сторона, которая проходит через эту вершину, должна быть параллельна противолежащей стороне треугольника, а посему коэффициенты при

координатах в их уравнениях должны быть пропорциональными: \(  \displaystyle \frac {5+4k}{1}=\frac {-2-k}{3}  \). Отсюда получаем \(  \displaystyle k=-\frac {17}{13}  \).

Ну и подставляя это значение \(  \displaystyle k  \) в уравнение пучка, получаем \(  \displaystyle x+3y-9=0  \), уравнение искомой прямой, такое же, что и у Вас.

Просто мне кажется, что с педагогической точки зрения так быстрей дойдёт до мозгов. Нет?
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 40
  • Поблагодарили: 1 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #6 : Октябрь 23, 2018, 02:54:21 pm »
Всё понял. Байт, ARRY, огромное спасибо.
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #7 : Октябрь 23, 2018, 03:45:35 pm »
Вы знаете, я бы немного упростил Ваше решение. Можно задать уравнение пучка, проходящего через эту точку как
Это конечно упрощает. Однако, есть одно НО. Можно нарваться на k = бесконечность. Это аналогично тому, что искать уравнение прямой в виде y = kx + b. И ежели искомая прямая параллельна оси Y, то вы ее просто не найдете. Можно, конечно, сказать, что если в таком виде ничего не найдено, ищите в виде x = d. (В случае пучка это означает, что искомая прямая совпадает со второй прямой). Но это уже получится не упрощение, а совсем наоборот. И Аналитическая Геометрия таких вещей очень не любит.
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: ARRY

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #8 : Октябрь 23, 2018, 04:11:07 pm »
(В случае пучка это означает, что искомая прямая совпадает со второй прямой). Но это уже получится не упрощение, а совсем наоборот.
Байт
А мне кажется, что это тривиальный, или если хотите, вырожденный случай.
Но... спорить не буду. Как говорится, на вкус и цвет...
Скрытый текст
определение каких-то параметров с точностью до множителя в Аналитической Геометрии встречается сплошь и рядом.
И Аналитическая Геометрия таких вещей очень не любит.
Да, кстати, всё забываю спросить Вас, а почему Вы пишете "Аналитическая Геометрия" с заглавных букв?
В знак особого уважения?  ???
[свернуть]
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Уравнения параллельных
« Ответ #9 : Октябрь 23, 2018, 07:38:37 pm »
почему Вы пишете "Аналитическая Геометрия" с заглавных букв? В знак особого уважения?
Можно считать и так. Но мне кажется, имена разделов Математики (и разделов других наук) - имена собственные. :)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?