Автор Тема: Исследовать функцию  (Прочитано 125 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн epsilon

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Исследовать функцию
« : Сентябрь 21, 2018, 10:00:52 pm »
Здравствуйте!
Есть функция f(x² + y) = f(x) + f(y²), определённая для всех вещественных x, y.
Является ли эта функция НУЛЕВОЙ?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Исследовать функцию
« Ответ #1 : Сентябрь 21, 2018, 10:24:53 pm »
Является ли эта функция НУЛЕВОЙ?

Нулевая функция - это тождественный нуль?
 

Оффлайн epsilon

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Re: Исследовать функцию
« Ответ #2 : Сентябрь 22, 2018, 11:36:08 am »
Нулевая функция - это тождественный нуль?

Да, имеется в виду тождественный нуль, то есть что f(x)=0 для любых x из множества R

А ещё вопрос: какие характеристики/свойства вообще имеет такая функция?
И верно ли для нее, что f(x² + y)=f(x² - y) = f(x) + f(y²) = f(-x) + f(y²) для любых x,y∈R?
 

Оффлайн Andy

  • Пользователь
  • Сообщений: 12
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Исследовать функцию
« Ответ #3 : Сентябрь 22, 2018, 02:34:41 pm »
Есть функция f(x² + y) = f(x) + f(y²), определённая для всех вещественных x, y.
Является ли эта функция НУЛЕВОЙ?
В процессе изучения математики я не решал так называемые функциональные уравнения и не владею методикой их решения. Но давайте предположим, что "есть" функция sign(x2+y)=sign(x)+sign(y2). Является ли она нулевой?
Facta loquuntur.
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Исследовать функцию
« Ответ #4 : Сентябрь 22, 2018, 10:02:52 pm »
Andy, ваших построений не понял. Но задача кажется любопытной.
Вопрос к ТС. Никаких других ограничений на функцию не накладывается? Типа непрерывности? Скорее всего - нет.
А подход видимо, такой. Предположить, что f(a) не равно нулю. И прийти к противоречию. Но как? Не скажу (не знаю)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Исследовать функцию
« Ответ #5 : Сентябрь 22, 2018, 10:09:58 pm »
определённая для всех вещественных x, y.
Функция-то эта от одного аргумента
верно ли для нее, что f(x² + y)=f(x² - y) = f(x) + f(y²) = f(-x) + f(y²) для любых x,y∈R?
Кажется, верно.
Имхо, если найти чему равно f(0), то из этого можно кое-что высосать....
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Исследовать функцию
« Ответ #6 : Сентябрь 22, 2018, 10:35:01 pm »
если найти чему равно f(0)
Как раз с этим-то все хорошо. F(0)=F(0+0) = F(0) + F(0) => F(0) = 0
F(2) = 2F(1)
F(x) = F(x2) = F(x4) = ...
F(-x) = F(x)
Остальное - утром...
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?