Автор Тема: Латинские квадраты порядка 15  (Прочитано 185 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Латинские квадраты порядка 15
« : Август 18, 2018, 11:21:26 pm »
Латинские квадраты в ряде случаев существенно упрощают построение магических квадратов. Простота такая, что иногда дух захватывает. Так у меня было с поиском метода составления идеального магического квадрата 9 х 9. Идеальным называется такой магический квадрат, который одновременно ассоциативный и пандиагональный. Число 9 составное и потому оказалось довольно трудно выявить простой способ.  Однако мне это удалось при помощи двух латинских квадратов:

6 1 8 6 1 8 6 1 8
6 1 8 6 1 8 6 1 8
6 1 8 6 1 8 6 1 8
7 5 3 7 5 3 7 5 3
7 5 3 7 5 3 7 5 3
7 5 3 7 5 3 7 5 3
2 9 4 2 9 4 2 9 4
2 9 4 2 9 4 2 9 4
2 9 4 2 9 4 2 9 4

6 6 6 1 1 1 8 8 8
7 7 7 5 5 5 3 3 3
2 2 2 9 9 9 4 4 4
6 6 6 1 1 1 8 8 8
7 7 7 5 5 5 3 3 3
2 2 2 9 9 9 4 4 4
6 6 6 1 1 1 8 8 8
7 7 7 5 5 5 3 3 3
2 2 2 9 9 9 4 4 4

Если i - это номер строки, начиная с верхней, а j - номер столбца, начиная с левого, то матрица идеального магического квадрата вычисляется по формуле:  M(i,j)=9 [z1(i,j)-1]+z2(i,j)
В итоге получим ИМК 9:

51 6 69 46 1 64 53 8 71
52 7 70 50 5 68 48 3 66
47 2 65 54 9 72 49 4 67
60 42 24 55 37 19 62 44 26
61 43 25 59 41 23 57 39 21
56 38 20 63 45 27 58 40 22
15 78 33 10 73 28 17 80 35
16 79 34 14 77 32 12 75 30
11 74 29 18 81 36 13 76 31

Тем не менее, столь простой подход я никак не могу применить к следующей составной матрице 15 х 15  ( рассматриваю пока квадраты нечетного порядка). Никак не удается сформировать два элементарных латинских квадрата. Может, у кого-нибудь из вас  нахлынет озарение? Свежий взгляд часто находит оригинальные подходы.
 
Сказали спасибо: Байт

Оффлайн Avgust

  • Пользователь
  • Сообщений: 42
  • Поблагодарили: 25 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Латинские квадраты порядка 15
« Ответ #1 : Август 21, 2018, 04:07:23 pm »
Георгий Александров при помощи латинских квадратов разработал два метода построения магических квадратов нечетного порядка
1)  ассоциативный МК порядка n=3,5,7,9,...



Единичку устанавливаем в середине верхней строки и по диагонали сначала пишем нечетные числа  до n и продолжаем эту ломанную диагональ заполнять четными числами от 2 до n-1  (в желтых кружках). Далее расставляем синие вертикальные "доминушечки". Их верхняя половина - числа, кратные n. В нижней части "доминушек" пишем число на единицу больше (их тоже ограничиваем окружностью) .  Это главная подготовительная работа. После заполняем только столбцы  по правилу: начиная с ячеек с кружками идем вниз с шагом n+1. После получим ассоциативный магический квадрат.

2)  идеальный МК порядка п > 3, где  n - простое число.



Метод еще проще: в желтых кружках расставляем числа от 1 до n удлиненными  ходами шахматного коня (три шага вниз, один шаг влево) .  Доминушки расставляем от правого верхнего угла и от левого нижнего. Верхняя часть доминушек - это арифметическая прогрессия с шагом n. Нижняя часть - на единицу больше. Остальное - точно так же, как в 1).