Автор Тема: Вписанный пятиугольник  (Прочитано 353 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Вписанный пятиугольник
« : Март 05, 2018, 07:08:47 pm »
Тут на другом форуме возникла задача. Найти необходимое и достаточно условие того, что пятиугольник можно вписать в окружность. Я предложил такое решение
Пятиугольник ABCDE. Проведем диагональ AC. В четырехугольнике ACDE A+D = C+E = 180. И так для всех 5-ти диагоналей. Необходимость очевидна. Достаточность надо еще доказать.
Это все можно свести вот к чему. Вписать звезду. Рассмотреть 15 получившихся уголков при вершинах. Для них сформулировать 10 соотношений (кажется, не все они будут независимыми) Будут ли эти соотношения достаточными?
Можно еще посмотреть со стороны теоремы синусов.
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Вписанный пятиугольник
« Ответ #1 : Март 05, 2018, 07:39:03 pm »
Проведем диагональ AC.
Байт
Возможен случай, что диагональ АС лежит вне пятиугольника, или же пятиугольник выпуклый?
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Вписанный пятиугольник
« Ответ #2 : Март 05, 2018, 07:48:08 pm »
Возможен случай, что диагональ АС лежит вне пятиугольника, или же пятиугольник выпуклый?
Выпуклый. Имеется в виду, что все вершины лежат на окружности.
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Вписанный пятиугольник
« Ответ #3 : Март 05, 2018, 08:20:08 pm »
Имеется в виду, что все вершины лежат на окружности.
Я имел в виду, что самопересекающийся пятиугольник тоже может быть вписан в окружность.
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Вписанный пятиугольник
« Ответ #4 : Март 06, 2018, 12:52:03 am »
Проведем диагональ AC
Байт
Диагональ можно не проводить. Возьмём любые два несоседних угла, скажем, \( \angle A \) и \( \angle D \). На рисунке видно, что они опираются на дуги, которые в сумме составляют полную окружность плюс довесок \( \smile BC \).
Стало быть, сумма двух любых несоседних углов вписанного пятиугольника больше \( 180^{\circ} \). Это необходимое условие. Но, понятно, недостаточное. Если я продлю, скажем, стороны \( AE \) и \( BC \), то получу новый пятиугольник \( A_1 B_1 CDE \), такой, что \( A_1 B_1\parallel AB \). Этот пятиугольник имеет такие же углы, как и первоначальный, а вот окружность около него описать, понятно, нельзя.
А вот достаточного условия пока не вижу. То, что Вы предлагаете:
Рассмотреть 15 получившихся уголков при вершинах. Для них сформулировать 10 соотношений
, выглядит чересчур громоздким для такой относительно простой задачи. Надо подумать.
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Вписанный пятиугольник
« Ответ #5 : Март 06, 2018, 06:50:18 am »
Вот тут есть кой-какая информация
https://vuzlit.ru/913157/vpisannye_mnogougolniki
Впрочем, для Вас в ней ничего нового.
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Вписанный пятиугольник
« Ответ #6 : Март 06, 2018, 09:27:24 am »
Вот тут есть кой-какая информация
Байт
Так это практически то же самое, что написал я. Только в этой статье по ссылке, как мне кажется, написано немного неграмотно. Стороны многоугольника могут быть смежными или несмежными. А вот у понятия "смежный угол" есть вполне чёткое определение. Поэтому полагаю, что углы многоугольника могут быть соседними либо несоседними.
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан