Автор Тема: Неизмеримая функция  (Прочитано 219 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Неизмеримая функция
« : Март 03, 2018, 12:52:23 am »
Доброй ночи.
Вызвала у меня затруднения  задача из теории функций.
Надо придумать пример такой неизмеримой функции \(  \displaystyle f(x)  \), для которой при любых \(  \displaystyle n  \) множество \(  \displaystyle \{ x\colon f(x)=n\}  \) измеримо.
Я вроде бы нашёл такую функцию, но тут же нашёл контрпример. И в итоге ничего доказать не смог.
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 218
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Неизмеримая функция
« Ответ #1 : Март 03, 2018, 04:00:52 pm »
Я вроде бы нашёл такую функцию, но тут же нашёл контрпример.
Борис
Или я не понял Вас, или Вы не поняли задание.
Какой тут может быть контрпример? От Вас же не требуется доказать, что для любой неизмеримой функции существует указанное измеримое множество. Это совершенно неверно.
От Вас требуется лишь привести пример такой функции и доказать, что она обладает требуемым свойством.
Если это так, то покажите, какую же функцию Вы нашли.
Если же я что-то понял неверно, уточните условие.
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Неизмеримая функция
« Ответ #2 : Март 03, 2018, 07:45:12 pm »
ARRY,  это я лоханулся, вы все правильно поняли.
Функция может быть такой. На каком-то неизмеримом множестве функция принимает единственное значение f(x)=n, а в точках, не принадлежащих к этому множеству, она принимает значение f(x)=-n. Я имею в виду, что в любом случае функция принимает лишь конечное число значений. Что-то вроде этого.
Только я не соображу, как все это сформулировать.
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 218
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Неизмеримая функция
« Ответ #3 : Март 04, 2018, 03:55:37 pm »
Борис
Вы меня, конечно, простите, но я ничего не понял из Вами написанного. Пришлось перечитать раз 6-7, чтобы капельку прояснилось, что Вы хотели сказать. Да, кажется я понял Вашу мысль, но, извините, как же сумбурно и безграмотно Вы её изложили.
Давайте начнём с самого начала.
Выберем на интервале \( (0, 1) \) произвольное неизмеримое подмножество. Обозначим его \(  A   \). Зададим на этом интервале (включая его концы), т.е. на отрезке  \( [0, 1] \) функцию \(  \large  f(x)=\begin{cases} x, x\in A \\-x, x\notin A \end{cases} \).
Стало быть, эта функция каждое своё значение принимает не более одного раза. Получается, что то множество, о котором шла речь в условии задачи, для любого \(  n  \) либо пустое, либо состоит из одной точки. Следовательно, и в том и в другом случае оно измеримо.
А вот сама функция, естественно, неизмерима.
Все условия выполнены.
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Неизмеримая функция
« Ответ #4 : Март 04, 2018, 05:48:18 pm »
я понял Вашу мысль, но как же сумбурно и безграмотно Вы её изложили.
ARRY, принимаю ваши упрёки, но мне теория функций и функан даются очень тяжело.
Вот вы написали:
А вот сама функция, естественно, неизмерима.
Для меня это совсем не естествено. Можете пояснить, почему?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 218
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Неизмеримая функция
« Ответ #5 : Март 04, 2018, 06:11:05 pm »
А вот сама функция, естественно, неизмерима.
Для меня это совсем не естествено. Можете пояснить, почему?
Борис
Это, вообще, самый простой момент в доказательстве. Ну подумайте сами, чему в нашем примере равен прообраз множества положительных чисел?
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Неизмеримая функция
« Ответ #6 : Март 04, 2018, 06:29:41 pm »
чему в нашем примере равен прообраз множества положительных чисел?
Кажется, дошло. Он будет равен выбранному подмножеству А. А оно неизмеримо. Так?
ARRY, огромное спасибо, очень помогли, а то я в таких задачах плаваю.
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 218
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Неизмеримая функция
« Ответ #7 : Март 04, 2018, 07:04:10 pm »
чему в нашем примере равен прообраз множества положительных чисел?
Он будет равен выбранному подмножеству А. А оно неизмеримо. Так?
Борис
Совершенно верно. Рад, что поняли.
А по большому счёту, функан не сложней матанализа. Только работать надо.
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн