Автор Тема: Покрытие четырехугольника  (Прочитано 316 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Покрытие четырехугольника
« : Февраль 14, 2018, 01:16:05 pm »
На сторонах выпуклого четырехугольника, как на диаметрах, построены круги. Покроют ли они весь четырехугольник?
Можно ли обобщить эту задачу на произвольные, не выпуклые четырехугольники?
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #1 : Февраль 16, 2018, 09:52:41 pm »
Любопытная задача. Но достаточно простая.

Выпуклый четырёхугольник \(  \displaystyle ABCD  \). Доказываем от противного, т.е. предположим, что внутри четырёхугольника существует некая область, не покрытая данными кругами.
Рассмотрим сначала сторону \(  \displaystyle AB  \) и окружность, построенную на ней как на диаметре.
Предположим, что какая-то точка \(  \displaystyle E  \) принадлежит непокрытой области. Из этой точки опустим перпендикуляр \(  \displaystyle EK  \), который пересечёт окружность в точке \(  \displaystyle F  \).
\(  \displaystyle \angle AFB  \) - прямой, следовательно \(  \displaystyle \angle AEB  \) - острый.
Проводя подобные рассуждения с каждой из трёх оставшихся сторон, приходим к выводу, сумма четырёх углов с общей вершиной \(  \displaystyle E  \): \(  \displaystyle \angle AEB+\angle AED+\angle DEC+\angle CEB< 360^{\circ}  \).
Пришли к противоречию. Значицца, всё ж таки покроют.
А вот что касается произвольного невыпуклого четырёхугольника, единственное, что могу сказать, что этот метод доказательства тут не пройдёт. Значит, надо придумать нечто другое. Надо подумать.
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 
Сказали спасибо: Байт

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #2 : Февраль 16, 2018, 09:58:38 pm »
Странно, не прикрепляется чертёжик.  :(
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #3 : Февраль 16, 2018, 10:14:35 pm »
Странно, не прикрепляется чертёжик.

Было какое-то сообщение? Может, размер слишком большой?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #4 : Февраль 16, 2018, 10:50:04 pm »
Было какое-то сообщение?
Admin
Скрытый текст
Нет, несколько раз пытался прикрепить, не прикрепляется, и никакого сообщения не было.
[свернуть]
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #5 : Февраль 16, 2018, 10:53:39 pm »
ARRY, а размер файла какой?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #6 : Февраль 16, 2018, 11:00:09 pm »
размер файла какой?
Admin
130 кб. Вроде же до 200 кб можно. Или нет?
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #7 : Февраль 16, 2018, 11:29:57 pm »
Но достаточно простая.
Даже еще проще, если учесть тот факт, что точка попадает в полукруг тогда и только тогда, когда диаметр этого круга виден из этой точки под углом большим или равным 90 градусам. В конце-концов, да, завершающим штрихом является то, что полный угол = 360 градусов.
А с не выпуклыми, наверное, тоже как-то доказывалось. Во всяком случае слова "выпуклый" у меня в тетрадочке нет. Вряд ли я тогда мог допустить такую промашку. Но ни вспомнить, ни придумать доказательство, увы! не могу.
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #8 : Февраль 17, 2018, 12:48:19 am »
130 кб. Вроде же до 200 кб можно. Или нет?

Да. Странно...
 

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 942
  • Поблагодарили: 675 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #9 : Февраль 17, 2018, 10:41:59 am »
Вот. Придумал для невыпуклого. Все даже проще. Только надо чуток с другой стороны глянуть.
Лемма Для любого треугольника и любых его 2-х сторон, круги, построенные на этих сторонах покрывают весь треугольник.
Скрытый текст
Возьмем произвольную точку.внутри треугольника. Стороны из нее видны под некоторыми углами меньшими 180 градусов. В сумме эти углы дают 360. Если 2 угла острые, то третий получается несуразно большим
[свернуть]
Теперь возьмем невыпуклый четырехугольник. И его выпуклую оболочку - треугольник. 2 стороны этого треугольника совпадают со сторонами четырехугольника. Построенные на них круги покрывают и оболочку, и, конечно, содержащийся в ней исходный четырехугольник.
Вот так. Без единого гвоздя (чертежа и формулы) :)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: ARRY

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #10 : Февраль 17, 2018, 11:04:21 am »
Байт
Да, красиво и просто.
Скрытый текст
Кстати, Ваш метод навёл меня на интересную задачу. Но это в отдельной теме.
[свернуть]
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #11 : Февраль 17, 2018, 11:07:52 am »
ARRY,

Скрытый текст
130 кб. Вроде же до 200 кб можно. Или нет?

А какое расширение файла?
[свернуть]
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #12 : Февраль 17, 2018, 11:37:37 am »
Admin
Скрытый текст
А какое расширение файла?
jpg
[свернуть]
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #13 : Февраль 20, 2018, 01:15:49 pm »
ARRY

Скрытый текст
Именно jpg, а не jpeg? Долго мучился, но, кажется, начинаю понимать, в чём причина. Попробуйте прикрепить ещё раз, если картинка сохранилась.
[свернуть]
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #14 : Февраль 20, 2018, 01:43:19 pm »
Скрытый текст
Именно jpg, а не jpeg?
Старая не сохранилась. Сфоткал по новой. Расширение таки jpeg. Попробую прикрепить.
Картинку уменьшил, если что...
[свернуть]
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #15 : Февраль 20, 2018, 01:46:51 pm »
ARRY

Скрытый текст
Расширение таки jpeg.

В этом и была проблема: данного расширения не было в списке допустимых. Было только jpg. Меня только сегодня осенило.
[свернуть]
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 231
  • Поблагодарили: 180 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #16 : Февраль 20, 2018, 01:52:32 pm »
Admin
Скрытый текст
А почему тогда не выдалось какое-нибудь сообщение типа "недопустимое расширение"? Или что-то в этом роде? Ну чтобы голову не ломать.
[свернуть]
Предположим, что мы не так уж далеки от истины................Ксенофан
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5048
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Покрытие четырехугольника
« Ответ #17 : Февраль 20, 2018, 01:53:58 pm »
ARRY

Скрытый текст
А почему тогда не выдалось какое-нибудь сообщение типа "недопустимое расширение"? Или что-то в этом роде? Ну чтобы голову не ломать.

Так устроен "движок" форума.  :(
[свернуть]