Автор Тема: Множество отрезков на прямой  (Прочитано 408 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Множество отрезков на прямой
« : Январь 30, 2018, 12:15:23 pm »
Здраствуйте.
Вот такая задача. Дано множество отрезков:
1) множество бесконечное
2) все отрезки лежат на одной прямой
3) никакие 2 отрезка не имеют общих внутренних точек, хотя могут соприкосаться концами
Вычислить мощность этого множества.
Мне кажется, что континуум. Ведь множество точек прямой континуально, прямая бесконечна, отрезки не пересекаются, каждый отрезок - фактически точка на данной прямой.
Я прав?
 

Онлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #1 : Январь 30, 2018, 11:49:58 pm »
Мне кажется, что континуум. Ведь множество точек прямой континуально, прямая бесконечна, отрезки не пересекаются, каждый отрезок - фактически точка на данной прямой. Я прав?
Не очень. То есть - совсем не прав.
В каждом отрезке можно найти рациональную точку. Таким образом строится инъекция множества отрезков в множество рациональных чисел.
Дальше несложно сообразить, что подмножество счетного множества - не более чем счетно.
Вот если бы отрезки пересекались, тогда да, инъекции построить бы не удалось...
Более того, множество всех отрезков есть R2 - Континуум в квадрате - опять континуум!
Не путать с 2R - это уже множество подмножеств.
Если я вам заморочил голову - просто не читайте последних трех строк.
И всегда помните, чем кончил Георг Кантор
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Admin, Fedor1995, Борис

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 223
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #2 : Январь 31, 2018, 12:42:10 am »
В каждом отрезке можно найти рациональную точку.
Я бы ещё акцентировал внимание топикстартера на том, что у разных отрезков эти точки разные. Это важно. Именно этот факт даёт основание утверждать о счётности данного множества.
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: Байт, Борис

Онлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #3 : Январь 31, 2018, 02:40:55 pm »
на том, что у разных отрезков эти точки разные. Это важно. Именно этот факт даёт основание утверждать о счётности данного множества.
Да. Я там намекнул на инъекцию, но лишний раз сакцентировать на этом, безусловно, не помешает...
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #4 : Февраль 01, 2018, 08:43:27 am »
В каждом отрезке можно найти рациональную точку
Байт
А из чего это следует?

 

Онлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #5 : Февраль 01, 2018, 12:04:43 pm »
А из чего это следует?
Почти ничего. Мы же строим инъекцию множества всех отрезков в множество рациональных чисел.
Так вот, каждому отрезку ставим в соответствие эту рациональную точку. Любую из отрезка. Существенно, что эти точки будут разными. То есть мы построили действительно инъекцию. А значит, наше множество отрезков равномощно некоторому подмножеству рациональных чисел.
Завершают доказательство 2 факта.
1. Множество рациональных чисел счетно.
2. Подмножество имеет мощность не большую, чем мощность множества.
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 223
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #6 : Февраль 01, 2018, 12:16:07 pm »
В каждом отрезке можно найти рациональную точку
Байт
А из чего это следует?
Прошу прощения, что отвечу на вопрос, адресованный не ко мне, но внесу и свои 5 коп. Мне кажется, Борис, что Вы немного недопонимаете.
Это не следует ниоткуда. В каждом из данных отрезков мы произвольным образом выбираем рациональную точку.
А вообще-то эта задача не из теории множеств, а из теории функций и функана.
И, между прочим, если Вы откроете учебник на теме "Метрические и топологические пространства" в разделе, посвящённом открытым и замкнутым множествах, Вы обнаружите теорему, которая гласит:
"Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собой сумму конечного или счётного числа попарно непересекающихся интервалов".
У Вас же даны отрезки - замкнутые множества, но поскольку замкнутые множества суть дополнения открытых, то из этой теоремы следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается выбрасыванием из этой прямой конечного или счётного числа интервалов.
В Вашем случае множество бесконечно, следовательно, оно счётно.
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: Байт, Борис

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #7 : Февраль 01, 2018, 12:54:43 pm »
Байт и ARRY, спасибо за подробные ответы.
Но мой вопрос был немного о другом.
Вот вы говорите, что мы произвольно выбираем на каждом отрезке рациональную точку.
А почему вы уверены, что такая точка на отрезке  существует. Ведь отрезок может быть сколь угодно мал.
Или я туплю?
 

Онлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #8 : Февраль 01, 2018, 04:10:22 pm »
Ведь отрезок может быть сколь угодно мал.
Тем не менее он имеет какую-то длину. Пусть d - половина этой длины. Возьмем точку x - середину отрезка. Множество рациональных чисел всюду плотно. А это значит, что для любой точки x и любой окрестности радиуса d найдутся рациональные числа, лежащие к x ближе чем на d. Иными словами, найдется r, что | x - r | < d
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Борис

Онлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #9 : Февраль 01, 2018, 04:19:57 pm »
Прошу прощения, что отвечу на вопрос, адресованный не ко мне, но внесу и свои 5 коп.
Дык, так на то и форум! Площадь по-латински. Все галдят, и так длаже интереснее. А для желающих уединиться и поговорить тет-а-тет, есть личка.
задача не из теории множеств, а из теории функций и функана.
Разделы математики довольно плотно переплетены друг с другом, и все деления достаточно условны. Бывало берешь интеграл (матан, вроде), а он - рациональная дроб. Ну и пошла Алгебра вперед... :)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Fedor1995

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Множество отрезков на прямой
« Ответ #10 : Февраль 01, 2018, 10:06:33 pm »
Всё понял, всем огромное спасибо.