Автор Тема: Гомеоморфизм топологических пространств  (Прочитано 210 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Здраствуйте.
У меня вопрос по топологии. В одной задаче я в непонятках.
У нас есть топологические пространства X и Y. Они гомеоморфны. Как мне доказать, что мощности их топологий равны?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 218
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Гомеоморфизм топологических пространств
« Ответ #1 : Январь 09, 2018, 01:14:38 pm »
А что тут доказывать? Вы определение гомеоморфизма топологических пространств знаете?
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Гомеоморфизм топологических пространств
« Ответ #2 : Январь 09, 2018, 01:25:50 pm »
Вроде знаю. Если X и Y - два топологических пространства, то функция f: X->Y называется гомеоморфизмом, если она однозначна и непрерывна, и обратная функция тоже непрерывна. И как мне рассуждать дальше?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 218
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Гомеоморфизм топологических пространств
« Ответ #3 : Январь 09, 2018, 01:31:25 pm »
если она однозначна
Борис
Неполное, а, значит, и неточное определение. Функция \(  \large f  \) должна быть взаимно однозначна. Это важно.
Ну, хорошо. Обратная функция (или обратное отображение) непрерывна. Значит, открытые множества переходят ...куда?
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Гомеоморфизм топологических пространств
« Ответ #4 : Январь 09, 2018, 01:45:27 pm »
Значит, открытые множества переходят ...куда?
В открытые? А почему?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 218
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Гомеоморфизм топологических пространств
« Ответ #5 : Январь 09, 2018, 01:53:41 pm »
В открытые? А почему?
Борис
Да потому что обратная функция непрерывна. По определению. И, стало быть, между открытыми множествами обоих топологических пространств есть биекция. А это и означает, что мощности топологий равны. Всё. Не нужны никакие теоремы, ничего, только пара определений из учебника.
А Ваше "почему?" показывает, что учебник Вы читали недостаточно.
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: Борис

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Гомеоморфизм топологических пространств
« Ответ #6 : Январь 09, 2018, 01:56:23 pm »
ARRY, это что, всё доказательство?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 218
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Гомеоморфизм топологических пространств
« Ответ #7 : Январь 09, 2018, 01:59:52 pm »
ARRY, это что, всё доказательство?
Всё. А что Вы хотели? Это даже не доказательство, а так, короткая цепочка рассуждений, основанная на знании основных определений.
Так что читайте учебник. В нём вся сила.
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: Байт, Борис

Оффлайн Борис

  • Пользователь
  • Сообщений: 35
    • Просмотр профиля
Re: Гомеоморфизм топологических пространств
« Ответ #8 : Январь 09, 2018, 04:40:54 pm »
ARRY, огромное спасибо. Прочёл внимательно учебник. Правда  чтбы понять, понадобилось мне 2 часа, чтобы въехать в 3 страницы текста. Вроде прояснилось.
Ещё раз спасибо.