Автор Тема: Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову  (Прочитано 365 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн New-Man

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
Помогите, пожалуйста. Задача была у меня поставлено так: Выяснить, при каких значениях параметра a нулевое решение является
а) асимптотически устойчивым;
б) устойчивым, но не асимптотически;
в) неустойчивым.
я установил, что при:
1) a>0-неустойчиво;
2) a<0-асимптотически устойчиво;
3) a=0 - устойчиво, но не асимптотически устойчива, а доказать как? по определению?
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 223
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
я установил, что при:
1) a>0-неустойчиво;
2) a<0-асимптотически устойчиво;
3) a=0 - устойчиво,
New-Man
А можете здесь показать, как именно Вы это установили?
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 

Оффлайн New-Man

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
\[ \left\{\begin{matrix}\dot{x}=ax+asiny & \\ \dot{y}=a{x}^{3}-{a}^{2}y& \end{matrix}\right.,siny\sim y \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\dot{x} = ax+ay& \\ \dot{y} = a{x}^{3}-{a}^{2}y& \end{matrix}\right.J=\begin{pmatrix}a &  a \\ 0 &-{a}^{2} \end{pmatrix}, detJ=\begin{vmatrix}a-\lambda  & a\\ 0 & -{a}^{2}-\lambda  \end{vmatrix}=(a-\lambda )(-{a}^{2}-\lambda)=0\Rightarrow {\lambda }_{1}=a, {\lambda }_{2}=-{a}^{2} \]
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 223
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
New-Man
Ну так всё правильно. Если Вас интересует вот это:

a=0 - устойчиво, но не асимптотически устойчива, а доказать как? по определению?
, то таки да, по определению.
Куда стремится возмущение при асимптотической устойчивости? К нулю.
А что у Вас? Если \(  \large a=0  \), то данная система имеет общее решение \(  \large \begin{cases} x=C_1=x_0 \\ y=C_2=y_0 \end{cases} \).
Поэтому при возмущении начальной точки \(  \large x_0, y_0  \) она не изменит своего положения, оставшись на своём месте. А это и значит, что нулевое решение данной системы будет устойчиво, но не асимптотически.
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: New-Man

Оффлайн New-Man

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
А если записать в терминах епсилон-дельта, то это выглядит будет так: Правильно?
 
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 223
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
А если записать в терминах епсилон-дельта, то это выглядит будет так: Правильно?
New-Man
Совершенно непонятно, что это Вы такое понаписали. В самом начале - это вроде определение устойчивости из учебника. А вот что дальше - Вы сами-то можете объяснить эти странные неравенства (странные, если не сказать больше)? Объясните на русском языке, что эти неравенства означают?
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 

Оффлайн New-Man

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
Я хотел проверить по определению 2, если предел не равен нулю, то асимптотической устойчивости не будет
 

Оффлайн ARRY

  • Пользователь
  • Сообщений: 223
  • Поблагодарили: 173 раз(а)
    • Просмотр профиля
Я хотел проверить по определению 2, если предел не равен нулю, то асимптотической устойчивости не будет
New-Man
Вы не совсем понимаете суть. Двумя постами выше я написал, что
при возмущении начальной точки \(  \large x_0,y_0  \) она не изменит своего положения, оставшись на своём месте.
Вот подумайте сами, что это означает в \(  \large \varepsilon \)-\(  \large \delta  \) - терминах?
Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов................Альберт Эйнштейн
 
Сказали спасибо: New-Man