Автор Тема: Лекция 9. Отношения, отображения и операции  (Прочитано 534 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Лекция 9. Отношения, отображения и операции


В настоящей лекции рассмотрим важные для всего последующего изложения понятия "отношение", "отображение" и "операция".

***

Пусть \(  \large x \in M  \), \(  \large y  \in N  \) - некоторые элементы, где \(  \large M  \) и \(  \large N  \) произвольные множества.

Определение 9.1. Упорядоченной парой, состоящей из элементов \(  \large x \in M  \) и \(  \large y \in N  \), называется множество, для которого известно, какой элемент является первым, а какой - вторым.

Замечание 9.1. Упорядоченная пара, которая состоит из элементов \(  \large x   \) и \(  \large y  \), обозначается через \(  \large (x,y)  \).

Замечание 9.2. Элементы \(  \large x  \) и \(  \large y  \) не обязательно различны.

Замечание 9.3. Не следует путать упорядоченную пару с неупорядоченной парой - множеством, состоящим из двух элементов (без указания их порядка). Оно, как обычно, обозначается через \(  \large \{x,y\}  \). Причём \(  \large \{ x ,y \} = \{y,x \}  \), поскольку порядок в данном случае не имеет значения.

Определение 9.2. Упорядоченные пары \(  \large (x_1,y_1)  \) и \(  \large (x_2,y_2)  \) будем называть равными, если и только если \(  \large x_1=x_2  \) и \(  \large y_1=y_2  \).

Замечание 9.4. Если две упорядоченные пары равны, то для обозначения этого факта используется обычный знак равенства.

Замечание 9.5. Упорядоченные пары \(  \large (x_1,y_1)  \) и \(  \large (x_2,y_2)  \) не равны, если и только если \(  \large x_1 \not =x_2  \) или \(  \large y_1 \not=y_2  \).

Замечание 9.6. Таким образом, во-первых,

\(  \large (x_1,y_1)=(x_2,y_2)  \)

тогда и только тогда, когда

\(  \large x_1=x_2 \wedge y_1=y_2  \).

Во-вторых,

\(  \large (x_1,y_1) \not =(x_2,y_2)  \),

если и только если

\(  \large x_1 \not =x_2 \vee y_1 \not =y_2  \).

Замечание 9.7. Учитывая предыдущее замечание, а также идемпотентность конъюнкции и дизъюнкции, заключаем, что пары \(  \large (x,y)  \) и \(  \large (y,x)  \) равны тогда и только тогда, когда \(  \large x=y  \), и не равны, если и только если \(  \large x \not = y  \).

Пример 9.1. Упорядоченные пары \(  \large (1,2)  \) и \(  \large (2,1)  \) не равны, поскольку \(  \large 1 \not = 2  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Лекция 9. Отношения, отображения и операции
« Ответ #1 : Ноябрь 20, 2017, 05:50:08 pm »
Пусть \(  \large M  \) и \(  \large N  \) - произвольные непустые множеств.

Определение 9.3. Прямым произведением множеств \(  \large M  \) и \(  \large N  \) называется множество всех упорядоченных пар \(  \large (x,y)  \), где \(  \large x \in M  \), \(  \large y \in N  \).

Замечание 9.8. Понятия "прямое произведение" и "декартово произведение" являются синонимами.

Замечание 9.9. Декартово произведение множеств \(  \large M  \) и \(  \large N  \) обозначается через \(  \large M \times N  \).

Замечание 9.10. Итак, согласно определению,

\(  \large M \times N= \{ (x,y) \colon x \in M, y \in N \}  \).

Пример 9.2. Если \(  \large M= \{1,2 \}  \), \(  \large N= \{a,b \}  \), то декартовым произведением множеств \(  \large M  \) и \(  \large N  \) является множество \(  \large \{ (1,a), (2,a), (1,b) , (2,b) \} \).

Замечание 9.11. Если \(  \large M=N=K  \), то декартово произведение множеств \(  \large M  \) и \(  \large N  \) называется декартовым квадратом множества \(  \large K  \).

Замечание 9.12. Декартов квадрат множества \(  \large K  \) обозначается через \(  \large K^2  \).

Замечание 9.13. Итак, по определению

\(  \large K^2= \{(x,y) \colon x,y \in K \}  \).

Пример 9.3. Пусть \(  \large K=\{1,2,3 \}  \). Тогда \(  \large K^2= \{(1,1) ,(1,2) , (1,3), (2,1), (2,2) , (2,3), (3,1), (3,2) , (3,3) \}  \).

Пример 9.4. Проверим, выполняется ли равенство \(  \large M \times (N \cup K)=(M \times N) \cup (M \times ( K \setminus N)) \) для множеств \(  \large M=\{\ 1,2 \}\, \ N=\{\ 2,3\}\, \ K=\{\ 1,3 \}\ \).

1) Найдём объединение множеств \(  \large N \) и \(  \large K \):

\(  \large N \cup K=\{\ 1,2,3 \}\ \).

2) Найдём декартово произведение множеств \(  \large M \) и \(  \large N \cup K \):

\(  \large M \times (N \cup K)=\{\ (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3) \}\ \).

3) Найдём декартово произведение множеств \(  \large M \) и \(  \large N \):

\(  \large M \times N=\{\  (1,2),(2,2),(1,3),(2,3)\}\ \).

4) Найдём разность множеств \(  \large K \) и \(  \large N \):

\(  \large K \setminus N=\{\ 1 \}\ \).

5) Найдём декартово произведение множеств \(  \large M  \) и \(  \large K \setminus N \):

\(  \large M \times (K \setminus N)=\{\ (1,1),(2,1) \}\ \).

6) Найдём объединение множеств \(  \large M \times N \) и \(  \large  M \times (K \setminus N) \):

\(  \large (M \times N) \cup (M \times (K \setminus N))=\{\  (1,2),(2,2),(1,3),(2,3),(1,1),(2,1)\}\ \).

Равенство выполняется, поскольку множества \(  \large M \times (N \cup K)  \) и \(  \large (M \times N) \cup (M \times ( K \setminus N))  \) состоят из одних и тех же упорядоченных пар.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Лекция 9. Отношения, отображения и операции
« Ответ #2 : Ноябрь 20, 2017, 05:50:22 pm »
Определение 9.4. Бинарным отношением между множествами \(  \large M  \) и \(  \large N  \) называется любое подмножество декартова произведения множеств \(  \large M  \) и \(  \large N  \).

Замечание 9.14. Бинарные отношения будем обозначать буквами \(  \large \mathcal{R}, \mathcal{S} , \mathcal{T} \) или теми же буквами с нижними числовыми индексами.

Замечание 9.15. Если \(  \large \mathcal{R} \subseteq M \times N  \), то говорят, что отношение \(  \large \mathcal{R}  \) определено на паре множеств \(  \large M   \) и \(  \large N  \).

Замечание 9.16. Пусть \(  \large \mathcal{R}  \) - бинарное отношение. Если \(  \large (x,y) \in \mathcal{R}  \), то говорят, что \(  \large x  \) и \(  \large y  \) связаны отношением \(  \large \mathcal{R}  \). При этом пишут

\(  \large x \mathcal{R} y  \).

Если \(  \large (x,y) \not \in \mathcal{R}  \), то говорят, что \(  \large x  \) и \(  \large y  \) не связаны отношением \(  \large \mathcal{R}  \). При этом пишут

\(  \large x \not \mathcal{R} y  \).

Пример 9.5. Пусть \(  \large M=\{1,2, \ldots, 10\}  \), \(  \large N= \{11,12, \ldots, 20 \}  \). Тогда множество \(  \large \mathcal{R}= \{(1,11), (2,11), (4,19), (5,19), (10,19) \}  \) есть бинарное отношение между множествами \(  \large M  \) и \(  \large N  \). Здесь \(  \large 1 \mathcal{R} 12  \), но \(  \large 2 \not \mathcal{R} 14  \).

Замечание 9.17. Если бинарное отношение \(  \large \mathcal{R}  \) является подмножеством декартова квадрата множества \(  \large M  \), то говорят, что это отношение определено на множестве \(  \large M  \).

Пример 9.6. Если \(  \large M=\{a,b,c,d,e \}  \), то \(  \large \mathcal{R}=\{(a,a),(a,b) , (a,c) , (e,a), (e,e) \}  \) - бинарное отношение, определённое на множестве \(  \large M  \).

Замечание 9.18. Равенство и включение - это тоже бинарные отношение между множествами.

***

Пусть \(  \large \mathcal{R} \subseteq M \times N  \) - некоторое бинарное отношение.

Определение 9.5. Областью определения отношения \(  \large \mathcal{R}  \) называется множество всех первых элементов упорядоченных пар \(  \large (x,y)  \), которые принадлежат \(  \large \mathcal{R}  \).

Замечание 9.19. Область определения отношения \(  \large \mathcal{R}  \) обозначается через \(  \large \mathrm{Dom} \mathcal{R}  \).

Замечание 9.20. Итак, согласно определению,

\(  \large \mathrm{Dom} \mathcal{R} = \{ x \colon (x,y) \in \mathcal{R}\} \).

Определение 9.6. Областью значений отношения \(  \large \mathcal{R}  \) называется множество всех вторых элементов упорядоченных пар \(  \large (x,y)  \), которые принадлежат \(  \large \mathcal{R}  \).

Замечание 9.21. Область значений отношения \(  \large \mathcal{R}  \) обозначается через \(  \large \mathrm{Im} \mathcal{R}  \).

Замечание 9.22. Итак, согласно определению,

\(  \large \mathrm{Im} \mathcal{R} = \{ y \colon (x,y) \in \mathcal{R}\} \).

Определение 9.7. Областью отношения \(  \large \mathcal{R}  \) называется объединение области определения и области значений.

Пример 9.7. Рассмотрим бинарное отношение

\(  \large \mathcal{R} = \{(1,2), (1,4) , (1,5), (2,1) ,(3,6) \}  \).

Тогда

\(  \large \textrm{Dom} \mathcal{R}=\{1,2,3 \}  \),

\(  \large \textrm{Im} \mathcal{R}=\{1,2,4,5,6 \}  \),

\(  \large \textrm{Dom} \mathcal{R} \cup \textrm{Im} \mathcal{R}=\{1,2,3,4,5,6 \}  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Лекция 9. Отношения, отображения и операции
« Ответ #3 : Декабрь 03, 2017, 06:16:18 pm »
Пусть \(  \large \mathcal{R}  \) и \(  \large \mathcal{S}  \) - некоторые бинарные отношения.

Определение 9.8. Композицией отношений \(  \large \mathcal{R}  \) и \(  \large \mathcal{S}  \) называется множество всех таких упорядоченных пар \(  \large (x,y)  \), что для некоторого \(  \large z  \) \(  \large (x,z) \in \mathcal{R}  \) и \(  \large (z,y) \in \mathcal{S}  \).

Замечание 9.23. Понятия "композиция отношений", "суперпозиция отношений" и "сложное отношение" равнозначны.

Замечание 9.24. Композиция отношений \(  \large \mathcal{R}  \) и \(  \large \mathcal{S}  \) обозначается через \(  \large \mathcal{R} \circ \mathcal{S}  \).

Замечание 9.25. Иногда композиция бинарных отношений определяется не слева направо, а справа налево.

Пример 9.8. Рассмотрим отношения

\(  \large \mathcal{R}_1=\{(1,2), (2,3), (3,7), (9,11) \} \)

и

\(  \large \mathcal{R}_2=\{(2,4), (2,5), (7,9), (3,4) \}  \).


Найдём композицию отношений \(  \large \mathcal{R}_1   \) и \(  \large  \mathcal{R}_2  \). Рассмотрим первую пару, являющуюся элементом множества \(  \large \mathcal{R}_1  \). Её первым элементом является число \(  \large 1  \), а вторым - число \(  \large 2  \). Найдём пары, которые являются элементами множества \(  \large \mathcal{R}_2  \) и у которых первый элемент - число \(  \large 2  \). Таких пар всего две: \(  \large (2,4)  \) и \(  \large (2,5)  \). Значит, первыми двумя элементами композиции отношений \(  \large \mathcal{R}_1  \) и \(  \large \mathcal{R}_2  \) являются пары, у которых первый элемент - \(  \large 1  \), а второй элемент \(  \large 4  \) и \(  \large 5  \). Итак,

\(  \large (1,4) \in \mathcal{R}_1 \circ \mathcal{R}_2  \), \(  \large (1,5) \in \mathcal{R}_2 \circ \mathcal{R}_2 \).

Рассмотрим второй элемент множества \(  \large \mathcal{R}_1  \). Это пара \(  \large (2,3)  \). Подходящей для неё парой является \(  \large (3,4)  \). Следовательно,

\(  \large (2,4) \in \mathcal{R}_1 \circ \mathcal{R}_2  \).

Аналогично, рассматривая третий элемент первого бинарного отношения, находим, что

\(  \large (3,9) \in \mathcal{R}_1 \circ \mathcal{R}_2  \).

Отметим, что для четвёртого элемента отношения \(  \large \mathcal{R}_1  \) нет подходящего элемента, принадлежащего отношению \(  \large \mathcal{R}_2  \). Значит,

\(  \large \mathcal{R}_1 \circ \mathcal{R}_2 = \{ (1,4), (1,5), (2,4) , (3,9)\}  \).

Определение 9.9. Инверсией отношения \(  \large \mathcal{R}  \) называется множество всех таких упорядоченных пар \(  \large (x,y)  \), что \(  \large (y,x) \in \mathcal{R}  \).

Замечание 9.26. Инверсия называется также обратным отношением.

Замечание 9.27. Инверсия бинарного отношения \(  \large \mathcal{R}  \) обозначается через \(  \large \mathcal{R}^{-1}  \).

Пример 9.9. Отношением, обратным к

\(  \large \mathcal{R}= \{(1,2), (4,10), (9,12) , (17,8) \}  \),

является отношение

\(  \large \mathcal{R}^{-1}= \{(2,1), (10,4), (12,9) , (8,17) \}  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Лекция 9. Отношения, отображения и операции
« Ответ #4 : Декабрь 03, 2017, 06:16:35 pm »
Обобщением понятий "упорядоченная пара", "декартов квадрат" и "бинарное отношение" являются понятия "кортеж", "декартова \(  \large n  \)-ая степень" и "\(  \large n  \)-арное отношение" соответственно.

***

Пусть \(  \large x_1 \in M_1, x_2 \in M_2 , \ldots , x_n \in M_n  \) - некоторые элементы, где \(  \large M_1,M_2, \ldots, M_n  \) - произвольные множества.

Определение 9.10. Кортежем называется множество, состоящее из \(  \large n  \) элементов, для которого известно, какой элемент является первым, вторым и т.д.

Замечание 9.28. Вместо понятия кортежа используется также понятие упорядоченной \(  \large n  \)-ки. Данные понятия синонимичны.

Замечание 9.29. Частные случаи кортежа - упорядоченные тройки, четвёрки, пятёрки и т.д.

Замечание 9.30. Кортеж, состоящий из элементов \(  \large x_1, x_2, \ldots ,x_n  \), обозначается через \(  \large (x_1,x_2, \ldots, x_n)  \).

Замечание 9.31. Кортежи, как и упорядоченные пары, равны, если и только если равны все их соответствующие элементы, и не равны тогда и только тогда, когда хотя бы два соответствующих элемента не равны.

Пример 9.10. Упорядоченные тройки \(  \large (1,2,3)  \) и \(  \large (1,4,3)  \) не равны, поскольку \(  \large 2 \not = 4  \).

Определение 9.11. Прямым (декартовым) произведением множеств \(  \large M_1,M_2, \ldots, M_n  \) называется множество всех кортежей \(  \large (x_1,x_2, \ldots, x_n)  \), где \(  \large x_1 \in M_1, x_2 \in M_2, \ldots, x_n \in M_n  \).

Замечание 9.32. Прямое произведение множеств обозначается через \(  \large M_1 \times M_2 \times \ldots \times M_n  \).

Замечание 9.33. Согласно определению,

\(  \large M_1 \times M_2 \times \ldots \times M_n=\{(x_1,x_2, \ldots ,x_n) \colon x_1 \in M_1, x_2 \in M_2 , \ldots, x_n \in M_n \}  \).

Замечание 9.34. Если \(  \large M_1=M_2 = \ldots = M_n=M  \), то прямое произведение множеств \(  \large M_1,M_2, \ldots, M_n  \) называется декартовой \(  \large n  \)-ой степенью множества \(  \large M  \) и обозначается через \(  \large M^n  \).

Замечание 9.35. В силу определения,

\(  \large M^n=\{ (x_1,x_2, \ldots, x_n) \colon x_1,x_2 , \ldots, x_n \in M \}  \).

Замечание 9.36. Декартову третью степень множества называют декартовым кубом этого множества. Декартов куб множества \(  \large M  \) равен прямому произведению множества \(  \large M  \) и его декартова квадрата.

Пример 9.11. Найдём декартов куб множества \(  \large M=\{\ 9,5 \}\ \).

Сначала найдём декартов квадрат этого множества:

\(  \large M^2=\{\ 9,5 \}\ \times \{\ 9,5 \}\ = \{\ (9,9),(9,5),(5,9),(5,5) \}\  \).

Переходим к перечислению упорядоченных троек, образующих декартов куб:

\(  \large M^3 = M \times M^2 = \{\ 9,5 \}\ \times  \{\ (9,9),(9,5),(5,9),(5,5) \}\ = \\  \large = \{\ (9,9,9),(9,9,5),(9,5,9),(9,5,5),(5,9,9),(5,9,5),(5,5,9),(5,5,5) \}\ \).

Определение 9.12. \(  \large n  \)-местным отношением между множествами \(  \large M_1,M_2, \ldots , M_n  \) называется любое подмножество прямого произведения этих множеств.

Замечание 9.37. \(  \large n  \)-местное отношение и \(  \large n  \)-арное отношение - это одно и то же.

Замечание 9.38. Неотрицательное число \(  \large n  \) называется рангом отношения.

Замечание 9.39. Если \(  \large n=1  \), то отношение называется унарным (это любое подмножество фиксированного множества), если \(  \large n=3  \) - тернарным. При \(  \large n=0  \) говорят о нульарном отношении.

Пример 9.12. Множество \(  \large \{ 2,4,6, \ldots \}  \) является унарным отношением на множестве натуральных чисел, а множество \(  \large \{ (0,-1,3) , (-9,0,7) , (3,4,0), (-8,2,5)\}  \) - тернарным отношением на множестве целых чисел.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Лекция 9. Отношения, отображения и операции
« Ответ #5 : Декабрь 03, 2017, 06:16:47 pm »
Пусть \(  \large  f \subseteq M \times N  \) - некоторое бинарное отношение.

Определение 9.13. Бинарное отношение \(  \large f  \) называется отображением, определённым на множестве \(  \large M  \) со значениями во множестве \(  \large N  \), если для любых \(  \large x \in M  \), \(  \large y \in N  \), \(  \large z \in N  \) принадлежность упорядоченных пар \(  \large (x,y)  \) и \(  \large (x,z)  \) бинарному отношению \(  \large f  \) влечёт равенство элементов \(  \large y  \) и \(  \large z  \).

Замечание 9.40. Часто отображение определяют так. Бинарное отношение \(  \large f  \) называют отображением, определённым на множестве \(  \large M  \) со значениями во множестве \(  \large N  \), если

1) для любого \(  \large x \in M  \) найдётся \(  \large y \in N  \);

2) для любых \(  \large x \in M  \), \(  \large y \in N  \), \(  \large z \in N  \) принадлежность упорядоченных пар \(  \large (x,y)  \) и \(  \large (x,z)  \) бинарному отношению \(  \large f  \) влечёт равенство элементов \(  \large y  \) и \(  \large z  \).

Данное определение избыточно, поскольку первая его часть является излишней, если бинарное отношение определено как любое подмножество декартова произведения непустых множеств. Из такого определения бинарного отношения и так ясно, что для любого первого элемента найдётся второй.

Замечание 9.41. При этом множество \(  \large M  \) называется областью отправления, а множество \(  \large N  \) - областью прибытия отображения \(  \large f  \).

Замечание 9.42. Если бинарное отношение \(  \large f  \) является отображением с областью отправления \(  \large M  \) и областью прибытия \(  \large N  \), то используются следующие обозначения:

\(  \large f \colon M \to N, \ M \stackrel{f}{\to} N, \ y=f(x)   \).

Замечание 9.43. Итак, согласно определению, бинарное отношение \(  \large f \subseteq M \times N \) является отображением, если и только если

\(  \large ((x,y) \in f \wedge (x,z) \in f) \to y=z   \),

где \(  \large x \in M,  y \in N , z \in N  \) - произвольные элементы.

Замечание 9.44. Бинарное отношение \(  \large f \subseteq M \times N  \) не является отображением тогда и только тогда, когда существуют такие элементы \(  \large x \in M,  y \in N , z \in N  \), что

\(  \large (x,y) \in f \wedge (x,z) \in f \wedge y \not =z   \).

Замечание 9.45. При специализации природы множеств \(  \large M  \) и \(  \large N  \) возникают специальные виды отображений: функция (числовая функция), функционал, операция, оператор и т.д. Зачастую понятия "отображение" и "функция" считают равнозначными.

Замечание 9.46. Для конкретных числовых функций вместо буквы \(  \large f  \) используются различные обозначения: \(  \large \sin  \), \(  \large \cos  \), \(  \large \textrm{tg}  \), \(  \large \textrm{ctg}  \), \(  \large \ln  \) и т.д.

Пример 9.13. Рассмотрим бинарные отношения

\(  \large \mathcal{R}_1=\{ (1,2), (1,3),(2,4) ,(3,5), (2,5)\}  \)

и

\(  \large \mathcal{R}_2 =\{ (0,1) ,(1,2) , (4,5) , (6,7), (9,5)\} \).

Отношение \(  \large \mathcal{R}_1  \) отображением не является, так как существуют элементы \(  \large 2  \), \(  \large 4  \) и \(  \large 5  \), причём

\(  \large (2,4) \in \mathcal{R}_1  \), \(  \large (2,5) \in \mathcal{R}_2  \), \(  \large 4 \not = 5  \).

Легко убедиться в том, что отношение \(  \large \mathcal{R}_2  \) является отображением.
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Лекция 9. Отношения, отображения и операции
« Ответ #6 : Декабрь 03, 2017, 06:16:57 pm »
Пусть \(  \large f \colon M \to N  \) - некоторое отображение.

Определение 9.14. Образом элемента \(  \large x \in M  \) при отображении \(  \large f  \) называется такой элемент \(  \large y \in N  \), что \(  \large y=f(x)  \).

Пример 9.14. Образом элемента \(  \large x= \frac{\pi}{6}  \) при отображении \(  \large y=\sin x  \) является элемент \(  \large y= \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}  \).

Определение 9.15. Полным прообразом элемента \(  \large y \in N  \) при отображении \(  \large f  \) называется множество таких элементов \(  \large x \in M  \), что \(  \large f(x)=y  \).

Замечание 9.47. Полный прообраз элемента \(  \large y  \) при отображении \(  \large f  \) обозначается через \(  \large f^{-1}(y)  \).

Пример 9.15. Полным прообразом элемента \(  \large y=0  \) при отображении \(  \large y=\cos x   \) является множество \(  \large f^{-1}(y)=\{ \frac{\pi}{2} + \pi k \colon k \in \mathbb{Z} \}  \).

Замечание 9.48. Следует обратить особое внимание на то, что образ элемента - это один элемент, а полный прообраз - это множество, которое может содержать более одного элемента.

Определение 9.16. Образом множества\(  \large M_1 \subseteq M  \) при отображении \(  \large f  \) называется множество тех элементов множества \(  \large N  \), которые являются образами элементов множества \(  \large M_1  \).

Замечание 9.49. Образ множества \(  \large M_1  \) при отображении \(  \large f  \) обозначается через \(  \large f(M_1)  \).

Пример 9.16. Рассмотрим отображение \(  \large f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2  \), заданное системой уравнений

\(  \large \begin{cases} z=x+y  \\ t =x-y \end{cases} \).

Найдём образ эллипса \(  \large 5x^2+2y^2=3  \) при отображении \(  \large f  \). Для этого разрешим систему уравнений относительно \(  \large x  \) и \(  \large y  \):

\(  \large \begin{cases} x=\frac{1}{2}z + \frac{1}{2}t \\ y = \frac{1}{2}z - \frac{1}{2}t \end{cases}  \).

Потом подставим найденные выражения для \(  \large x  \) и \(  \large y  \) в уравнение эллипса. Получим \(  \large \frac{7}{4}z^2 + \frac{3}{2}zt + \frac{7}{4}t^2=3  \). Линия второго порядка, определяемая данным уравнением, и является образом эллипса  \(  \large 5x^2+2y^2=3  \) при отображении \(  \large f  \).

Определение 9.17. Полным прообразом множества \(  \large N_1 \subseteq N  \) при отображении \(  \large f  \) называется множество тех элементов множества \(  \large N  \), образы которых принадлежат множеству \(  \large N_1  \).

Замечание 9.50. Для обозначения полного прообраза множества  \(  \large N_1  \) при отображении \(  \large f  \) используется запись \(  \large f^{-1}(N_1)  \).

Пример 9.17. Рассмотрим функцию Дирихле, которая принимает значение, равное единице, если \(  \large x \in \mathbb{Q}  \), и значение, равное нулю, в противном случае. В данном случае прообразом множества \(  \large N_1=\{1 \}  \) является множество рациональных чисел.

Замечание 9.51. Поскольку любое отображение является бинарным отношением (но не всякое бинарное отношения является отображением), можно говорить о композиции отображений (сложном отображении или сложной функции) и об инверсии отображения (обратной функции).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Лекция 9. Отношения, отображения и операции
« Ответ #7 : Февраль 16, 2018, 04:29:50 pm »
Пусть \(  \large M^n  \) - \(  \large n  \)-ая степень непустого множества \(  \large M  \), где \(  \large n  \) - неотрицательное число.

Определение 9.18. \(  \large n  \)-арной операцией на множестве \(  \large M  \) называется отображение \(  \large \varphi \colon M^n \to M  \).

Замечание 9.52. Число \(  \large n  \) при этом называется рангом операции.

Замечание 9.53. При \(  \large n=2  \) операцию называют бинарной, при \(  \large n=1  \) - унарной, при \(  \large n=0  \) - нульарной. Изредка используется понятие "тернарная операция" (\(  \large n=3  \)).

Замечание 9.54. Любую бинарную операцию можно рассматривать как тернарное отношение. Упорядоченные тройки, принадлежащие этому отношению, составляются следующим образом: третий элемент есть образ двух первых, понимаемых как упорядоченная пара. Например, сложение на множестве натуральных чисел можно понимать как отношение

\(  \large \{(1,1,2), (1,2,3), (2,1,3), (2,2,4) , \ldots \}  \).

Замечание 9.55. Аналогично всякую унарную операцию можно рассматривать как бинарное отношение. Обобщая, можно сказать, что \(  \large n  \)-арная операция - это \(  \large (n+1)  \)-арное отношение.

Замечание 9.56. Синонимом понятия "унарная операция" является понятие "оператор".

Замечание 9.57. Бинарная операция на множестве \(  \large M  \) представляет собой отображение вида \(  \large z=f(x,y)  \), где \(  \large x,y,z \in M  \). Обычно бинарные операции обозначаются специальным символом, например, \(  \large z=x \odot y  \). Нам хорошо известны обозначения сложения и умножения, которые являются бинарными операциями, заданными на множестве вещественных (или комплексных) чисел.

Пример 9.18. Вычитание не является бинарной операцией на множестве натуральных чисел, поскольку, например, для упорядоченной пары \(  \large (1,2)  \) не существует натурального числа, являющегося разностью чисел, являющихся элементами пары. Если рассматривать вычитание на множестве целых чисел, то оно является бинарной операцией. Можно придумать экзотические примеры бинарных операций. Пусть, например, \(  \large x \otimes y=x+y^2  \), где \(  \large x,y \in \mathbb{R}  \). Отображение \(  \large \otimes \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}  \) является бинарной операцией.

Замечание 9.58. Унарная операция, определённая на множестве \(  \large M  \), есть отображение вида \(  \large y=f(x)  \). Для обозначения унарных операций также используются специальные символы, например, \(  \large y=\overset{ \sim}{x}  \). В качестве примера унарной операции можно привести следующую: образом каждого вещественного числа является число с той же абсолютной величиной, но с противоположным знаком.

Замечание 9.59. Нульарной операцией на множестве \(  \large M  \) будем считать выделение (фиксацию) какого-нибудь элемента этого множества. Так, в теории чисел выделяют нуль и единицу как числа с особыми свойствами относительно сложения и умножения соответственно.