Автор Тема: Свойства бинарных отношений  (Прочитано 1527 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн klo4koli

  • Пользователь
  • Сообщений: 4
  • Поблагодарили: 1 раз(а)
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« : Февраль 02, 2016, 10:21:43 pm »
На множестве М*М  задано отношение R. Указать свойства отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность). Ответы обосновать.
a)  М – множество студентов учебного заведения, R – учатся в одной группе.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #1 : Февраль 02, 2016, 10:34:09 pm »
Рефлексивно, поскольку каждый студент учебного заведения учится сам с собой в одной группе. Не антирефлексивно, так как не верно, что любой студент учебного заведения не учится сам с собой в одной группе. Симметрично: для любых двух студентов учебного заведения верно, что если первый учится со вторым в одной группе, то и второй учится с первым в одной группе. Не является антисимметричным, поскольку не верно, что для любых двух студентов из того что первый учится со вторым в одной группе и второй учится с первым в одной группе следует, что первый и второй студенты - это одно и то же лицо. Транзитивно, так как для любых трёх студентов учебного заведения верно: если первый учится в одной группе со вторым и второй учится в одной группе с третьим, то первый учится в одной группе с третьим.
 

Оффлайн dota2

  • Пользователь
  • Сообщений: 22
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #2 : Май 19, 2016, 02:03:15 pm »
Выяснить, какими свойствами обладает бинарное отношение: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность.

\(  \large x>2y+1, [0;4]  \)
 

Оффлайн Lewis

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #3 : Май 22, 2016, 01:22:03 pm »
Является ли бинарное отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

\(  \large P \subseteq \mathbb{R}^2, \ (x,y) \in P \Leftrightarrow x^2 \ge y  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #4 : Май 22, 2016, 04:38:58 pm »
Бинарное отношение не является  рефлексивным, так как найдётся такой элемент \(  \large x \in \mathbb{R}  \), что \(  \large x^2 < x  \). Например, \(  \large x=\frac{1}{2}  \). Оно не является и симметричным, поскольку существуют такие элементы \(  \large x,y \in \mathbb{R}   \), что \(  \large x^2 \ge y  \) и \(  \large y^2 <x  \). Например, \(  \large x=2, \ y=1  \).

 

Оффлайн Lewis

  • Пользователь
  • Сообщений: 3
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #5 : Май 22, 2016, 06:19:19 pm »
Огромнейшее спасибо!
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #6 : Май 22, 2016, 06:26:24 pm »
Пожалуйста.
Тут ещё с антисимметричностью и транзитивностью нужно разобраться.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #7 : Май 24, 2016, 05:48:51 pm »
Пусть \(  \large \mathcal{R} \subset [0;4]^2  \) - данное бинарное отношение. Оно будет:

1) рефлексивным, если \(  \large \forall x \ x \mathcal{R} x  \);

2) антирефлексивным, если \(  \large \forall x \ \overline{x  \mathcal{R} x}  \);

3) симметричным, если \(  \large \forall x \forall y \ ( x \mathcal{R} y \to y \mathcal{R} x) \);

4) антисимметричным, если \(  \large \forall x \forall y \ (( x \mathcal{R} y \wedge y \mathcal{R} x) \to x=y) \);

5) транзитивным, если \(  \large \forall x \forall y \forall z \ (( x \mathcal{R} y \wedge y \mathcal{R} z) \to x \mathcal{R} z) \);

6) связным, если \(  \large \forall x \forall y (x \not = y \to (x \mathcal{R} y \vee y \mathcal{R} x))  \).

Выясним, какими свойствами обладает бинарное отношение \(  \large \mathcal{R}  \).

1) Поскольку \(  \large x>2x+1 \Leftrightarrow x+1<0  \), а это неравенство неверно для любых значений \(  \large x \in [0;4]  \), то отношение не является транзитивным и является антитранзитивным.

2) Отношение не является симметричным, так \(  \large \exists x ,y \in [0;4] \ (x \mathcal{R} y \wedge \overline{y \mathcal{R} x })  \). Пусть, например, \(  \large x=3, \ y = \frac{1}{2}  \). Тогда \(  \large 3 > 2 \cdot \frac{1}{2}+1  \) и \(  \large \frac{1}{2} \le 2 \cdot 3 +1  \).

3) Отношение транзитивно. Пусть \(  \large x>2y+1  \) и \(  \large y>2z+1  \). Из первого следует \(  \large x>y  \), так как бинарное отношение \(  \large \mathcal{R}  \) определено на подмножестве множества положительных чисел. Из \(  \large x>y  \) и \(  \large y>2z+1  \), учитывая транзитивность неравенства, получаем \(  \large x>2z+1  \). Итак, из \(  \large x>2y+1  \) и \(  \large y>2z+1  \) следует \(  \large x>2z+1  \).


 

Оффлайн dota2

  • Пользователь
  • Сообщений: 22
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #8 : Май 25, 2016, 09:01:10 pm »
Спасибо. А с остальными свойствами не поможете?
 

Оффлайн mnffy

  • Пользователь
  • Сообщений: 11
  • Поблагодарили: 2 раз(а)
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #9 : Июнь 20, 2016, 02:28:55 pm »
Здравствуйте!
Нужно выяснить, какими из свойств: рефлексивность,
антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность,
связность обладает данное отношение Ф = (A,G).


A - жители России на начало этого года, G - \(  \large x \varphi y \Leftrightarrow x - \ внук \ y  \)
 
Прошу помощи! :)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Свойства бинарных отношений
« Ответ #10 : Июнь 22, 2016, 08:31:16 pm »
Данное бинарное отношение не рефлексивно, поскольку никто не является собственным внуком. По той же самой причине оно антирефлексивно. Это отношение не является симметричным, так как человек \(  \large x  \) является внуком человека \(  \large y  \), и человек \(  \large y   \) не является внуком человека \(  \large x  \).