Автор Тема: Лекция 7. Множества. Включение и равенство множеств  (Прочитано 555 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Лекция 7. Множества. Включение и равенство множеств



Понятие множества не определяется, так как любое его определение сведётся к замене слова "множество" его синонимами: совокупность, набор, собрание элементов и т.д. Можно говорить, например, о множестве натуральных числе, делящихся на семь, множестве городов на планете Земля, множестве живущих в Москве людей, возраст которых старше пятидесяти лет, множестве книг в некоторой библиотеке. Важнейшим понятием теории множеств является понятие принадлежности элемента множеству. Данное понятие интуитивно ясно и не определяется, как и понятие "множество". Через понятие "принадлежность" определяются другие понятия теории множеств.

***

Замечание 7.1. Множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита:

\(  \large M,N,K, \ldots \),

а их элементы - малыми буквами латинского алфавита:

\(  \large x,y,z, \ldots  \)

Кроме того, будем использовать буквенные обозначения с нижними индексами.

Замечание 7.2. Пусть \(  \large x  \) - произвольный элемент. Запись \(  \large x \in M  \) означает, что элемент \(  \large x  \) принадлежит множеству \(  \large M  \) (множество \(  \large M  \) cодержит элемент \(  \large x  \)). Запись \(  \large x \not \in M  \) является обозначением высказывания \(  \large \overline{x \in M}  \) (элемент \(  \large x   \) не принадлежит множеству \(  \large M  \) или множество \(  \large M  \) не содержит элемента \(  \large x  \)). При этом символ \(  \large \in   \) называется знаком принадлежности.

Замечание 7.3. Множество можно задать двумя способами. Во-первых, можно перечислить элементы множества (сказать, что множество \(  \large M  \) состоит из элементов \(  \large x_1,x_2, \ldots, x_n  \)). В этом случае пишут:

\(  \large M= \{x_1,x_2, \ldots, x_n \}  \).

Данный способ задания множества годится лишь в том случае, если оно состоит из конечного (и не большого) количества элементов. Во-вторых, можно указать характеристическое свойство элементов множества (сказать, что множество \(  \large M  \) состоит из элементов, удовлетворяющих некоторому известному свойству \(  \large A  \)). Тогда пишут:

\(  \large M= \{ x \colon A(x) \}  \).

Кроме того, можно дополнительно указать, что элементы, которые удовлетворяют свойству \(  \large A  \), берутся из данного множества \(  \large N  \). В этом случае используется запись 

\(  \large M= \{ x \in N \colon A(x) \}  \).

Пример 7.1. Зададим множества \(  \large M_1  \) и \(  \large M_2  \) перечислением их элементов:

\(  \large M_1 = \{ 1, \frac{3}{2}, \sqrt{2} , \pi, 10^6 \}  \),

\(  \large M_2 = \{ a,b,c,d \}  \).

В данном случае

\(  \large 1 \in M_1  \), \(  \large a \in M_2  \), \(  \large d \not \in M_1  \), \(  \large \sqrt{2} \not \in M_2   \).

Замечание 7.4. Иногда характеристическое свойство явно не указывается, но его можно усмотреть из "бесконечного перечисления". Например, можно сказать, что некоторое множество \(  \large M  \) состоит из элементов \(  \large 1,4,9, 25, \ldots  \) Во избежание недоразумений, лучше всё же явно указать характеристическое свойство. В данном случае ясно, что множество состоит из квадратов натуральных чисел. Поэтому лучше его задать так:

\(  \large M= \{ x \in \mathbb{N} \colon x^2 \}  \).

Пример 7.2. Определим множество \(  \large M_1  \) с помощью характеристического свойства:

\(  \large M_1= \{x \in \mathbb{R} \colon x^4+3x^3+3x^2+3x+2=0 \}  \).

Это множество состоит из двух элементов - вещественных корней уравнения \(  \large x^4+3x^3+3x^2+3x+2=0  \):

\(  \large M_1= \{ -1, -2\}  \).

Зададим множество \(  \large M_2  \), используя характеристическое свойство:

\(  \large M_2= \{x \in \mathbb{N} \colon x > 12 \}  \).

Множество \(  \large M_2  \) состоит из натуральных чисел, больших \(  \large 12  \):

\(  \large M_2= \{13,14,15, \ldots \}  \).

Замечание 7.5. Множество может иметь в качестве элементов другие множества. Например, множество

\(  \large M= \{1, \{a,b \}, 3, \{x,y \}, 2, 5 \}  \)

состоит их шести элементов: четырёх чисел \(  \large 1,2,3,5  \) и двух множеств \(  \large \{a,b \}  \) и \(  \large \{ x,y \}  \), каждое из которых состоит из двух элементов (первое - из букв \(  \large a  \) и \(  \large b  \), второе - из букв \(  \large x  \) и \(  \large y  \)).

Определение 7.1. Говорят, что множества \(  \large M  \) и \(  \large N  \) находятся в общем положении, если найдутся такие элементы \(  \large x  \), \(  \large y  \) и \(  \large z  \), что

\(  \large x \in M, x \not \in N, y \in N, y \not \in M, z \in M , z \in N  \).

Пример 7.3. Пусть \(  \large M= \{ a,b,c,d\}  \), \(  \large N= \{1,c,d \}  \). Эти множества находятся в общем положении, поскольку

\(  \large a \in M, a \not \in N, 1 \in N, 1 \not \in M, c \in M, c \in N  \).
 
Сказали спасибо: Alexey, Fedor1995

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Важным понятием теории множеств является понятие включения множеств (оно определяется на основе понятия принадлежности), а также понятие равенства множеств. Эти понятия тесно связаны.

***

Пусть \(  \large M  \) и \(  \large N  \) - произвольные множества.

Определение 7.2. Говорят, что множество \(  \large M  \) включается в множество \(  \large N  \), если для любого элемента \(  \large x  \) принадлежность этого элемента множеству \(  \large M  \) влечёт его принадлежность множеству \(  \large N  \).

Замечание 7.6. Если множество \(  \large M  \) включается в множество \(  \large N  \), то множество \(  \large M  \) называется подмножеством множества \(  \large N  \), а множество \(  \large N  \) - надмножеством множества \(  \large M  \).

Замечание 7.7. Множество \(  \large M  \) не является подмножеством множества \(  \large N  \), если существует такое элемент \(  \large x  \), который принадлежит множеству \(  \large M  \), но не принадлежит множеству \(  \large N  \).

Замечание 7.8. Если множество \(  \large M  \) есть подмножество множества \(  \large N  \), то пишут

\(  \large M \subseteq N  \).

Если множество \(  \large M  \) не является подмножеством множества \(  \large N  \), используется запись

\(  \large M \not\subseteq N  \).

При этом символ \(  \large \subseteq  \) называется знаком включения.

Замечание 7.9. Итак, во-первых, \(  \large M \subseteq N  \) тогда и только тогда, когда

\(  \large x \in M \to x \in N  \),

где \(  \large x  \) - произвольный элемент.

Во-вторых, \(  \large M \not \subseteq N  \), если и только если существует такой элемент \(  \large x  \), что

\(  \large x \in M \wedge x \not \in N  \).

Пример 7.4. Рассмотрим множества \(  \large M= \{0,1,2,3 \}  \) и \(  \large N= \{1,2,3 \}  \). Множество \(  \large M  \) является подмножеством множества \(  \large N  \), поскольку любой элемент, принадлежащий множеству \(  \large M  \), принадлежит и множеству \(  \large N  \).

Пример 7.5. Множество \(  \large M=\{1,2,3 \}  \) не является подмножеством множества \(  \large N=\{2,3,4,5\}  \), так как \(  \large 1 \in M  \), но \(  \large 1 \not \in N  \).

Замечание 7.10. Не следует путать знаки включения и принадлежности как по написанию (эти знаки похожи), так и по смыслу. Например, корректно и истинно высказывание

\(  \large \{ \{a,b \}, b \} \subseteq \{ a, \{ a,b\}, b, \{a,b,c \} \}  \).

Корректно, но ложно высказывание

\(  \large \{ \{a,b \}, b, 1 \} \subseteq \{ a, \{ a,b\}, b, \{a,b,c \} \}  \).

Не является корректной запись

\(  \large \{ \{a,b \}, b \} \in \{ a, \{ a,b\}, b, \{a,b,c \} \}  \).

Но корректно и истинно высказывание

\(  \large \{ \{a,b \}, b \} \in \{ \{a, \{ a,b\} \}, b, \{a,b,c \} \}  \).

Корректны и истинны высказывания

\(  \large \{a,b \} \in \{ \{a, \{ a,b\} \}, b, \{a,b,c \} \}  \),

\(  \large  \{a,b \} \subseteq \{ \{a, \{ a,b\} \}, b, \{a,b,c \} \}  \).
 
Сказали спасибо: Alexey, Fedor1995, Cyrpych

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Определение 7.3. Говорят, что множества \(  \large M  \) и \(  \large N  \) равны, если для произвольного элемента \(  \large x  \) принадлежность этого элемента множеству \(  \large M  \) имеет место тогда и только тогда, когда имеет место принадлежность этого элемента множеству \(  \large N  \).

Замечание 7.11. Если множества \(  \large M  \) и \(  \large N  \) равны, то для обозначения этого факта используется обычный знак равенства:

\(  \large M = N  \).

Если они не равны, пишут

\(  \large M \not = N  \).

Замечание 7.12. Множество \(  \large M  \) не равно множеству \(  \large N  \), если существует такой элемент \(  \large x  \), который принадлежит множеству \(  \large M  \), но не принадлежит множеству \(  \large N  \), или принадлежит множеству \(  \large N  \), но не принадлежит множеству \(  \large M  \).

Замечание 7.13. Итак, во-первых, \(  \large M =N  \), если и только если

\(  \large x \in M \leftrightarrow x \in N  \),

где \(  \large x  \) - произвольный элемент.

Во-вторых, \(  \large M \not = N  \) тогда и только тогда, когда найдётся такой элемент \(  \large x  \), что

\(  \large (x \in M \wedge x \not \in N) \vee (x \in N \wedge x \not \in M)  \).

Замечание 7.14. Ясно, что множества равны, если и только если они содержат одни и те же элементы.

Пример 7.6. Пусть \(  \large M= \{ x \in \mathbb{R} \colon x^3-6x^2+11x -6=0 \}  \), \(  \large N= \{1,2,3 \}  \). Решив уравнение \(  \large x^3-6x^2+11x -6=0  \), легко убедиться, что множества равны.

Замечание 7.15. Поскольку эквиваленция выражается через конъюнкцию импликаций, ясно, что множества \(  \large M  \) и \(  \large N  \) равны тогда и только тогда, когда множество \(  \large M  \) является подмножеством множества \(  \large N  \) и множество \(  \large N  \) является подмножеством множества \(  \large M  \).

Определение 7.4. Говорят, что множество \(  \large M  \) строго включается в множество \(  \large N  \), если множество \(  \large M  \) включается в множество \(  \large N  \) и множество \(  \large M  \) не равно множеству \(  \large N   \).

Замечание 7.16. Если множество \(  \large M  \) строго включается в множество \(  \large N  \), то множество \(  \large M  \) называется собственным подмножеством множества \(  \large N  \).

Замечание 7.17. Множество \(  \large M  \) не является собственным подмножеством множества \(  \large N  \), если \(  \large M \not \subseteq N  \) или \(  \large M=N  \).

Замечание 7.18. Если \(  \large M  \) - собственное подмножество \(  \large N  \), то пишут

\(  \large M \subset N  \).

В противном случае -

\(  \large M \not \subset N  \).

При этом символ \(  \large \subset   \) называется знаком строгого включения.
 
Пример 7.7. Рассмотрим множества \(  \large M_1 = \{\{ a,b\}, a, b \}  \) и \(  \large M_2 = \{ \{ a,b \} , a,b,c  \}  \). Множество \(  \large M_1  \) является собственным подмножеством множества \(  \large M_2  \), так как \(  \large M_1 \subseteq M_2  \) и \(  \large M_1 \not = M_2  \).

Замечание 7.19. Для наглядности изображения отношений между множествами используются диаграммы Эйлера-Венна. При этом множество изображается кругом и мыслится как множество точек круга.
 
Сказали спасибо: Alexey, Fedor1995

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 5046
  • Поблагодарили: 1576 раз(а)
    • Просмотр профиля
Есть два особых множества - пустое и универсальное. Определим эти множества и докажем их простейшие свойства.

***

Определение 7.5. Множество \(  \large M  \) называется пустым, если \(  \large x \not \in M  \), где \(  \large x  \) - произвольный элемент.

Замечание 7.20. Пустое множество обозначается символом \(  \large \not \circ  \).

Замечание 7.21. Пустое множество не содержит ни одного элемента (ни один элемент не принадлежит пустому множеству). Значит, высказывание \(  \large x \in \not \circ  \) ложно, каким бы ни был элемент \(  \large x  \).

Пример 7.8. Пусть \(  \large M= \{ x \in \mathbb{R} \colon x^4+1=0 \}  \). Данное множество пусто, поскольку уравнение \(  \large x^4+1=0  \) не имеет вещественных корней.

Определение 7.6. Множество \(  \large M  \) называется универсальным, если \(  \large x \in M  \), где \(  \large x  \) - произвольный элемент.

Замечание 7.22. Обычно под универсальным множеством понимают не множество всех множеств, а множество, включающее все элементы, рассматриваемые в данном контексте. Например, если речь идёт о числах, то универсальным множеством может быть множество вещественных (или комплексных) чисел, если речь идёт о треугольниках - множество треугольников.

Замечание 7.23. Для обозначения универсального множества используется символ \(  \large \mathbb{U}  \).

Замечание 7.24. Высказывание \(  \large x \in \mathbb{U}  \) истинно, каким бы ни был элемент \(  \large x  \), поскольку универсальное множество содержит все элементы.

Теорема 7.1. Любое множество \(  \large M  \) является подмножеством самого себя:

\(  \large M \subseteq M  \).

Доказательство. Пусть \(  \large x  \) - произвольный элемент. Учитывая определение включения, нам нужно доказать, что высказывание

\(  \large x \in M \to x \in M  \)

истинно. Это действительно так, поскольку

\(  \large x \in M \to x \in M \simeq \overline{x \in M} \vee x \in M \simeq 1  \).

Мы выразили импликацию через дизъюнкцию и отрицание, а затем использовали закон исключённого третьего. Теорема доказана.

Теорема 7.2. Пустое множество является подмножеством любого множества \(  \large M  \):

\(  \large \not \circ \subseteq M  \).

Доказательство. Докажем, что высказывание

\(  \large x \in \not \circ \to x \in M  \),

где \(  \large x  \) - произвольный элемент, истинно. Учитывая, что высказывание \(  \large x \in \not \circ  \) ложно (согласно определению пустого множества), имеем:

\(  \large x \in \not \circ \to x \in M \simeq \overline{x \in \not \circ} \vee x \in M \simeq 1 \vee x \in M \simeq 1  \).

Помимо определения пустого множества, был использован закон \(  \large P \to Q \simeq \overline{P} \vee Q  \) и правило \(  \large P \vee 1 \simeq 1  \). Теорема доказана.

Теорема 7.3. Любое множество \(  \large M  \) является подмножеством универсального множества.

\(  \large M \subseteq \mathbb{U}  \).

Доказательство. Пусть \(  \large x   \) - какой угодно элемент. Докажем, что истинно высказывание

\(  \large x \in M \to x \in \mathbb{U}  \).

Избавимся от импликации, используем определение универсального множества и правило \(  \large P \vee 1  \). Имеем:

\(  \large x \in M \to x \in \mathbb{U} \simeq \overline{x \in M} \vee x \in \mathbb{U} \simeq \overline{x \in M} \vee 1 \simeq 1  \).

Теорема доказана.