Автор Тема: Цикличность в комплексной области  (Прочитано 314 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн t_nikitina

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
Цикличность в комплексной области
« : Сентябрь 06, 2017, 07:11:07 pm »
Цикличность связана с комплексной областью. Корни n степени из единицы образуют циклическую группу. Применение цикличности это-то же самое что применение комплексных чисел при расчетах.
 Обычно операции или расчеты из области комплексных чисел можно перевести в действительную область. Но замкнутость комплексного поля нельзя перенести на поле действительных чисел.
Доказательство теоремы Галуа построено на нормальном распределении корней уравнения в комплексной плоскости.
Цикличность дает обобщение дискретного измерения и непрерывного измерения  (Преобразование Фурье).
Я хочу доказать, что цикличность конечных групп связана с основной теоремой алгебры комплексных чисел. 
 Если рассматривать цикличность как автоморфизм n степени, тогда цикличность функций можно выразить через дифференциальное уравнения \(  \large f^{(n)}=f   \).
Тогда доказательство основной теоремы алгебры сводится к доказательству того что линейные уравнения и дифференциальные уравнения n степени являются частным случаем уравнения  \(  \large f^{(n)}=f   \).
Чтобы доказать что линейные уравнения являются частным случаем уравнения \(  \large f^{(n)}=f  \) нужно доказать что коэффициенты этого уравнения или формулы Виета можно выразить через систему уравнений полученную при решении дифференциального уравнения \(  \large f^{(n)}=f  \).
Утверждение: Коэффициенты линейного уравнения можно выразить как свободные члены системы уравнений полученных при решении дифференциального уравнения \(  \large f^{(n)}=f  \).
Доказательство.
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения \(  \large f^{(n)}=f   \) является уравнение \(  \large z^n=1  \)
Корни n степени из единицы  являются мультипликативной абелевой группой порядка n  .
Характеристическое уравнение дает возможность представить коэффициенты через нормальное распределение.
Так как корни уравнения \(  \large z^n=1   \) различны, то частные производные линейно независимы, так как отношение \(  \large \frac{e^{\xi_k}}{e^{\xi_{k+1} }} \neq\textrm {const}   \) при любых x.
Тогда определитель Вронского построенных на частных производных не будет равен нулю \(  \large \det\neq0  \).
Этот определитель играет важную роль при отыскании частных решений при заданных начальных условиях. Действительно если заданы начальные условия
\(  \large y_{x=x_0}=y_0, y’_{x=x_0}=y’_0, y^{(n-1)}_{x=x_0}=y^{(n-1)}  \)
то из общего решения \(  \large y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n  \)
получить частное, надо решит систему линейных уравнений относительно постоянных \(  \large C_1, C_2, \cdots, C_n  \)
Для \(  \large f^{(n)}=f     \) при x=0 коэффициентами при постоянных будут корни из единицы \(  \large \sqrt[n] 1  \).
Тогда за начальные условия можно взять коэффициенты уравнения n степени. И формулы Виета можно выразить через эту систему.
 \(  \large \begin{cases} a_n=y_{x=0}=C_1+C_2+\cdots+C_n\\a_{n-1}=y’_{x=0}=C_1+C_2\xi_1+\cdots+C_n\xi_{n-1}\\......\\a_1=y_{x=0}^{(n-1)}=C_1+C_2\xi_1^{n-1}+\cdots+C_n\xi_{n-1}^{n-1}\end{cases}
  \)
Тогда уравнение \(  \large f^{(n)} =f  \) являются обобщением всех уравнений степени n.             
Так как уравнение n степени имеет n корней то такую систему можно задать и для корней уравнения.
При \(  \large n\geq 5   \) уравнение не имеет решений в радикалах, так как согласно теории Галуа группа не имеет конечных вложений подгрупп.               
Но есть ряд методов связанных с производной которые, приводят к решению уравнений. Самый универсальный из них является метод касательных или метод Ньютона.
 Но если рассматривать уравнение как функцию \(  \large f(x)=0  \). То так как \(  \large f^{(n)}=f  \), то \(  \large \frac{f^{(n)}}{f'}=\frac{f}{f’}  \). Тогда значение \(  \large x_0, x_1, x_2 \cdots  \) вычисленные по формуле \(  \large x_{n+1}=x_0- \frac{f(x_n)}{f’(x_n)}  \) при \(  \large n=1, 2, 3\cdots  \) образует последовательность которая стремится к корню уравнения \(  \large f(x)=0  \). И к этому выводу можно прийти не используя геометрию. Здесь использовано то что корни линейного уравнения принадлежат комплексному полю или бесконечной группе. Тогда делители делимые и частные от деления принадлежат этой группе и отпадает необходимость в подгруппе. Метод Ньютона пригоден как для алгебраических так и для трансцендентных уравнений. Поэтому дифференциальное уравнение является обобщением всех аналитических функций.
Дифференциальное уравнение дает возможность рассматривать мнимую единицу i как независимую единицу измерения.                 
\(  \large \frac{e^x}{e^{ix}} \neq \textrm {const}  \)
В комплексной плоскости независимые единицы измерения выражаются через координаты векторов 1,0; i, 0
Комплексное поле отображается  на комплексной плоскости, где каждое число изображается точкой на прямоугольной системе координат. Где по абсциссе откладывается действительная часть числа, а по оси  ординат мнимая часть числа.
Для изображения комплексного числа необходимо знать начальную точку отсчета (0) и две масштабные единицы действительную (1) и мнимую (i) Тогда 1,0; i, 0 являются координатами векторов. Дифференциальное уравнение дает возможность построить систему для большего числа измерений. Дифференциальное уравнение дает возможность рассмотреть векторы ортогональной системы координат как функции. Если в систему, полученную из уравнения \(  \large f''=-f  \) при x=0 подставить вместо коэффициентов \(  \large C_1, C_2   \) подставить единицы комплексной плоскости, или \(  \large \pm1  \), или \(  \large \pm i  \) и используя перестановку частных производных, то это даст нам кватернионы в матричной форме \(  \large \begin{pmatrix} 1& 0\\0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}i & 0\\0 & i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & i\\i & 0\end{pmatrix}  \).     
Не коммутативность умножения кватернионов дает возможность рассматривать кватернионы как векторы относительно нуля в трехмерном пространстве. 
 


   
 

Оффлайн t_nikitina

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
Re: Цикличность в комплексной области
« Ответ #1 : Октябрь 04, 2017, 09:37:06 am »
Цикличность и периодичность, которое применяется к функциям, приводит к обобщенности.
Для того чтобы перейти от одной вещественной формы к другой,  то нужно «окомплексить» задачу и осуществить переход в комплексном пространстве.
Если взять за коэффициенты для аргумента в функции корни n-й степени, то мы получим n независимых функций.
Это будет переход к геометрии.
Корни из единицы являются характеристическими числами матрицы из n ортогональных векторов. 
\(  \large \begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\ 
\cdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}  \).
Если теперь исключить из геометрии длину, ширину, высоту или x, y, z то ничего не изменится. Проблема в том, что считать естественным.
Но не думаю что для природы язык лингвистики, философии или логики более естественный чем язык формул, функций или чисел. 

 

Оффлайн t_nikitina

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
Re: Цикличность в комплексной области
« Ответ #2 : Октябрь 16, 2017, 06:12:09 pm »
Возможность применения свойств комплексной плоскости.
Цикличность плюс дифференциальные уравнения дают возможность, как для обобщения математических объектов, так и для разложения на независимые объекты.
Аналогом в  действительной области является алгебра Хопфа, где существует как алгебра, так и коалгебра. Там возможна как работа с числами (групповая алгебра), так и работа с функциями (алгебра Ли). Но в алгебре Хопфа нет нормального распределения. Насколько это свойство важно можно увидеть при приложении алгебры Хопфа к теории Галуа.
Все попытки полностью исключить из теории Галуа нормальное распределение остались без результатов.
Я считаю это не возможным, так как нормальное распределение является аналогом основной теоремы алгебры при решении в радикалах.
Применения свойств комплексной плоскости в физике.
Рассмотрим теорию струн. Есть как поклонники, так и противники теории струн. Но все они согласны, что через 10 измерений авторами теории удалось выразить все физические свойства и взаимодействия.
Я критически отношусь к теории струн. Но заинтересовала одно высказыванья А.Н. Вавилова. В одной из своих лекций он утверждал, что математикам известно что 10 измерений можно получить из чисел Кэли (октавы). А то что можно разложить можно и свернуть.
И остается открытым вопрос как относится к \(  \large \sqrt{-1} \) мнимой или как к независимой единицы измерения.
 

Онлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Цикличность в комплексной области
« Ответ #3 : Октябрь 16, 2017, 08:20:22 pm »
Я просто подавлен. Увы, моего образования и интуиции так и не хватило на объятие представленных проблем. Это ни в коем случае не должно порочить уважаемого t_nikitina, ибо мое образование весьма клочковато, а интуиция, как всегда, проникает не слишком глубоко.
Внимательное прочтение топика в течении нескольких десятков минут так и не разрешило моих сомнений.
И у меня осталось два варианта трактовки этого текста.
1. Совсем мало я понимаю. Мне бы еще учиться и учиться. Просветите меня!
2. Это - шутка. Хорошая шутка в стиле "Физики шутят". Тогда - браво и полный респект! :)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 

Оффлайн t_nikitina

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
Re: Цикличность в комплексной области
« Ответ #4 : Ноябрь 05, 2017, 08:22:07 pm »
Байт.
1.Если захотите, то будете знать алгебру Хопфа гораздо лучше меня. Меня интересовала только связь дифференциального уравнения с группами.
С помощью свойств дифференциального уравнения \(  \large f^{(n)}=f  \) можно выразить любые конечные группы и любые компактные группы (группы Ли).
2.Вы были правы это была провокация с целью вызвать критику. (Обычно умники ловятся на подобные штуки.) Но я не физик Мое кредо не нужно философии надо считать. А функции \(  \large e^x, e^{-x}, e^{ix}, e^{-ix} \)  линейно независимы.