Автор Тема: Периодичность в комплексной плоскости  (Прочитано 284 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн t_nikitina

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
Периодичность в комплексной плоскости
« : Сентябрь 02, 2017, 08:42:02 pm »
Это конспект  раздела «Введение в теорию функций комплексного переменного» из «Справочника по высшей математике» 1971 года выпуска автор П.Ф. Фильчаков.
В теории комплексного переменного тригонометрические и гиперболические функции, по сути, теряют право на самостоятельное существование, так как они являются весьма простыми рациональными функциями от показательной функции \(  \large e^z  \)
Определим функции комплексного переменного \(  \large w=\sin z  \) и \(  \large w=\cos z \) как функциональное решение простейшего линейного дифференциального уравнения второго порядка
\(  \large w’’=-w \)
Определим гиперболические функции \(  \large w=-\textrm{sh} z, w=\textrm{ch} z \) как функциональное решение равнения
 w''=w \(  \large \textrm{ch} z==\frac{ e^z+e^{-z}}{2} \), \(  \large \textrm{sh} z=\frac{e^z-e{-z}}{2} \)
Заменяя z на zi  и воспользовавшись  формулой Эйлера \(  \large \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \)
\(  \large \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \) и тогда установим связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями:
 \(  \large  \textrm{sh} iz=i \sin z, \textrm{ch} iz=\cos z\\
\sin {iz}=i \textrm{sh} z, \cos {iz}=\textrm{ch} z  \)
И если тригонометрическая функция имеет действительный период, то показательная и гиперболическая функция имеют чисто мнимый период.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Периодичность в комплексной плоскости
« Ответ #1 : Сентябрь 03, 2017, 01:20:44 pm »
Здравствуйте! А что Вы этим хотели сказать? :)
По-моему, это замечательно, что элементарные функции в комплексной плоскости выражаются через экспоненту!
 

Оффлайн t_nikitina

  • Пользователь
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
Re: Периодичность в комплексной плоскости
« Ответ #2 : Сентябрь 03, 2017, 08:50:57 pm »
Спасибо за вопрос.
Экспонента получится и из уравнения f’=f. Я хочу выразить через экспоненту все аналитические функции. Об этом будет в следующей теме.
 

Онлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Периодичность в комплексной плоскости
« Ответ #3 : Сентябрь 03, 2017, 08:56:11 pm »
Я хочу выразить через экспоненту все аналитические функции
f(x) = eln(f(x))
Вы об этом?
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?