Автор Тема: Решить диффур  (Прочитано 230 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн torne

  • Пользователь
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
Решить диффур
« : Июнь 17, 2017, 12:07:38 pm »
Помогите, пожалуйста, с диффуром: \(  \large y'x^3-2yx^2-2(x^2+1)y^3=0  \).
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Решить диффур
« Ответ #1 : Июнь 17, 2017, 12:39:46 pm »
Здравствуйте. Ваше уравнение является уравнением Бернулли.
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн Байт

  • Пользователь
  • Сообщений: 929
  • Поблагодарили: 674 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Решить диффур
« Ответ #2 : Июнь 18, 2017, 12:36:08 pm »
Подстановка z = 1/y2 сводит к линейному.
Далее z = uv (или Лагранж)
Я духов вызывать могу из бездны! - И я могу, и каждый это может. Вопрос лишь, явятся ль они на зов?
 
Сказали спасибо: Alexey

Оффлайн mad_math

  • Пользователь
  • Сообщений: 180
  • Поблагодарили: 89 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Решить диффур
« Ответ #3 : Июнь 19, 2017, 04:37:38 pm »
Подстановка z = 1/y2 сводит к линейному.
Далее z = uv (или Лагранж)
Подстановка Бернулли \(  \large y=u\cdot v,\,y'=u'\cdot v + v'\cdot u  \) хороша тем, что с её помощью можно сразу искать интеграл уравнения Бернулли без всяких дополнительных подстановок:
\(  \large (u' v + v' u)\cdot x^3-2uvx^2-2(x^2+1)\cdot(uv)^3=0  \)
\(  \large u' v x^3+ v' u x^3-2uvx^2=2u^3v^3(x^2+1)  \)
Делим обе части на  \(  \large u^3v^3  \):
\(  \large \frac{u' x^3}{u^3v^2}+ \frac{v' x^3}{u^2v^3}-\frac{2x^2}{u^2v^2}=2(x^2+1)  \)

\(  \large \frac{u' x^3}{u^3v^2}+\frac{1}{u^2}\left( \frac{v' x^3}{v^3}-\frac{2x^2}{v^2}\right)=2(x^2+1)  \)

А дальше по стандартной схеме: приравниваем выражение в скобках к 0, разделяем переменные и т.д.
Отношение "спасение" рефлексивно на множестве утопающих.
 
Сказали спасибо: Admin, Байт, Alexey