Автор Тема: Представить в алгебраической форме  (Прочитано 926 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
\(  \large cos(\frac{\pi }{4}+i)  \)

По определению \(  \large cosz  \) имеем \(  \large cos(\frac{\pi }{4}+i) =  \frac{{e}^{i(\frac{\pi }{4}+i)}+{e}^{-i(\frac{\pi }{4}+i)}}{2}  \)

А что дальше делать, я не очень понял.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #1 : Май 08, 2017, 02:46:58 pm »
А дальше раскройте скобки в знаменателе и воспользуйтесь тем, что \(  \large a^{x+y}=a^x \cdot a^y  \) и \(  \large e^{i \varphi}= \cos \varphi + i \sin \varphi  \).
 
Сказали спасибо: Alexey, Sonic

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #2 : Май 08, 2017, 03:01:27 pm »
 \(  \large cos(\frac{\pi }{4}+i) = \frac{{e}^{i(\frac{\pi }{4}+i)}+{e}^{-i(\frac{\pi }{4}+i)}}{2}=\frac{{e}^{i\frac{\pi }{4}-1}+{e}^{-i\frac{\pi }{4}+1}}{2}=\frac{{e}^{-1}(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})+e(cos\frac{\pi }{4}-isin\frac{\pi }{4})}{2}=  \)

 \(  \large \frac{{e}^{-1}cos\frac{\pi }{4}+{e}^{-1}isin\frac{\pi }{4}+ecos\frac{\pi }{4}-eisin\frac{\pi }{4}}{2}=cos\frac{\pi }{4}({e}^{-1}+{e}^{1})+isin\frac{\pi }{4}({e}^{-1}-e)  \)

 \(  \large =\frac{\sqrt{2}}{2}(ch1-ish1)  \)

Так, или я где-то допустил ошибку?
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #3 : Май 08, 2017, 03:42:21 pm »
Ошибка в двух последних переходах.
 

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #4 : Май 08, 2017, 03:46:18 pm »
Перепроверил, не нашел ошибку, подскажите, пожалуйста.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #5 : Май 08, 2017, 03:52:08 pm »
Ой. Ошибка только после последнего знака равенства: \(  \large \textrm{sh} x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \), \(  \large \textrm{ch} x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \).
 
Сказали спасибо: Sonic

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #6 : Май 08, 2017, 03:54:15 pm »
Ну. Так и есть. В знаменателе двойка исчезает по определению шинуса и кошинуса, а потом вычисляем синус пи на четыре и косинус пи на четыре
 

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #7 : Май 08, 2017, 03:56:29 pm »
Или Вы имеете ввиду, что тут \(  \large \frac{cos\frac{\pi }{4}({e}^{-1}+{e}^{1})+isin\frac{\pi }{4}({e}^{-1}-e)}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2}(ch1-ish1)  \). Ну я двойку в знаменателе в уме держал.
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #8 : Май 08, 2017, 09:27:45 pm »
Ответ-то правильный. Но

\(  \Large \frac{{e}^{-1} \cos \frac{\pi }{4}+{e}^{-1}i \sin \frac{\pi }{4}+e \cos\frac{\pi }{4}-ei \sin\frac{\pi }{4}}{2}= \frac{1}{2}\cos\frac{\pi }{4}({e}^{-1}+{e}^{1})+isin\frac{\pi }{4}({e}^{-1}-e)  \).

Или я что-то путаю?
 
Сказали спасибо: Sonic

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Представить в алгебраической форме
« Ответ #9 : Май 08, 2017, 10:03:13 pm »
Да так  :D