Автор Тема: Найти все значения корня  (Прочитано 647 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Найти все значения корня
« : Май 08, 2017, 12:54:38 pm »
\(  \large \sqrt[3]{-i}  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти все значения корня
« Ответ #1 : Май 08, 2017, 01:07:27 pm »
Сначала представьте данное комплексное число в тригонометрической форме. Можно попробовать обойтись без применения тригонометрии. Пусть

\(  \large \sqrt[3]{-i}=x+iy  \).

Дальше возводим обе части равенства в куб и составляем систему уравнений, используя определение равенства комплексных чисел.

P.S. Посмотрите тему по ссылке, оба способа подробно разобраны там. Будут вопросы - спрашивайте.
 
Сказали спасибо: Байт, Alexey, Sonic

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти все значения корня
« Ответ #2 : Май 08, 2017, 01:24:59 pm »
Т.е.
\(  \large \sqrt[3]{-i}=\sqrt[3]{\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin  \left( -\frac{\pi}{2} \right)}= \sqrt[3]{\cos \frac{2  \pi k - \frac{\pi}{2}}{2} + i \sin  \frac{2  \pi k - \frac{\pi}{2}}{2}} \) где \(  \large k=0,1,2  \)

Отсюда находим
\(  \large \omega_0=\cos \left( - \frac{\pi}{4} \right)+ i \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i  \)
\(  \large \omega_1=\cos \frac{3 \pi }{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2}i  \)
\(  \large \omega_2=\cos \frac{7 \pi }{4} + i \sin \frac{7 \pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{2}}{2}i  \)
 

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти все значения корня
« Ответ #3 : Май 08, 2017, 01:34:50 pm »
Отсюда находим

Делить нужно не на два, а на три, поскольку корень кубический. Остальное - верно.
 

Оффлайн Sonic

  • Пользователь
  • Сообщений: 13
  • Поблагодарили: 3 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти все значения корня
« Ответ #4 : Май 08, 2017, 01:59:01 pm »
Так:
\(  \large \sqrt[3]{-i}=\sqrt[3]{\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin  \left( -\frac{\pi}{2} \right)}= \sqrt[3]{\cos \frac{2  \pi k - \frac{\pi}{2}}{3} + i \sin  \frac{2  \pi k - \frac{\pi}{2}}{3}}  \)

\(  \large \omega_0=\cos \left( - \frac{\pi}{6} \right)+ i \sin \left( - \frac{\pi}{6} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i  \)

\(  \large \omega_1=\cos \frac{\pi }{2} + i \sin \frac{\pi}{2}=i  \)

\(  \large \omega_2=\cos \frac{7 \pi }{6} + i \sin \frac{7 \pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{1}{2}i  \)
 
Сказали спасибо: Admin, Байт, Alexey

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти все значения корня
« Ответ #5 : Май 08, 2017, 02:17:07 pm »
На этот раз всё правильно.
 
Сказали спасибо: Sonic

Оффлайн Alexey

  • Модератор
  • Сообщений: 228
  • Поблагодарили: 154 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти все значения корня
« Ответ #6 : Май 08, 2017, 02:25:49 pm »
Без тригонометрии. Пусть \(  \large \sqrt[3]{-i}=x+iy  \). Возведём в куб: \(  \large 0- 1 \cdot i=x^3-3xy^2 + i(3x^2-y^3)  \). Отсюда:

\(  \large \begin{cases}  x(x^2-3y^2)=0 \\ 3x^2y-y^3=-1 \end{cases}  \).

Сразу находим одно решение: \(  \large x=0,y=1  \). Далее:

\(  \large \begin{cases} x^2=3y^2 \\ 3x^2y-y^3=-1  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2=3y^2 \\ y=-\frac{1}{2} \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} x= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ y=-\frac{1}{2} \end{cases}  \).
 
Сказали спасибо: Admin, Байт, Sonic

Оффлайн Admin

  • Администратор
  • Сообщений: 4966
  • Поблагодарили: 1575 раз(а)
    • Просмотр профиля
Re: Найти все значения корня
« Ответ #7 : Май 08, 2017, 02:28:01 pm »
Видим, что другим способом получили то же самое.
 
Сказали спасибо: Sonic